第一章第 5 课时 同角三角函数基本关系式-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

13　　　 第 5 课时 　 同角三角函数基本关系式 【三点导视】 重点:同角三角函数关系式. 难点:同角三角函数关系式的变形式. 考点:(1)已知某个三角函数的值,求其余的三角函数值. (2)化简三角关系式. (3)证明三角恒等式. 【要点导学】 1. 同一个角 α 的正弦、余弦的平方和等于　 1　 ,即　 sin2α+cos2α = 1　 . 2. 根据三角函数的定义,当角 α≠　 kπ+ π 2 (k∈Z)　 ,同一个角 α 的正弦、余弦的商等于角 α 的　 正切　 , 即　 tanα = sinα cosα 　 . 【精题导析】 例 1　 已知 f(x) = 1-x 1+x ,若 α∈( π 2 ,π) ,化简 f( cosα) +f( -cosα). [思路分析]　 这是三角函数的求值题,应该用同角三角函数间的关系脱去平方根,再利用角的范围去 掉绝对值. [随堂热身] 解:f(cosα) +f( -cosα)= 1-cosα 1+cosα + 1+cosα 1-cosα = 1-cosα | sinα | + 1+cosα | sinα | = 2 | sinα | = 2 sinα [思考领悟]　 平方关系是去根号的重要方法. 在化简、计算等过程中,首先要想到去掉根号. 例 2　 已知 α,β∈( 0, π 2 ) ,且 sinα = asinβ,tanα = btanβ(a,b 为常数且 a>1,b>1) ,求 cosα 的值. [思路分析]　 条件中 α,β 为变量,联立两等式消去 β,利用方程求解 cosα. 14　　　 [过程互动]　 ∵ sinα = asinβ　 ∴ sinβ = sinα a 　 ① 又∵ tanα = btanβ　 两边平方得 tan2α = b2 tan2β　 ∴ sin2α cos2α = b2 · sin2β cos2β 　 即 sin2α cos2α = b2 · sin2β 1-sin2β 　 ②　 把①代入②后化简得 sin2α cos2α = 　 b2 sin2α a2 -sin2α 　 　 ∵ sinα ≠ 0 　 ∴ 1 cos2α = b2 a2 -sin2α 　 ∴ cos2α = 　 a2 -1 b2 -1 　 　 ∵ α ∈ ( 0, π 2 ) 　 ∴ cosα > 0 　 ∴ cosα = 　 a2 -1 b2 -1 　 [思考领悟]　 利用方程思想,将关于变量 α、β 的两等式( 即两条件) 联立方程组可求得任一变量,由 α, β∈( 0, π 2 ). 转化为关于 cosα 的方程是解此题的重要思想. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 关于 x 的方程 8x2 +6mx+2m+1 = 0　 　 　 ① [合作探究]　 是否存在实数 m,使 sinα、cosα( α 是第三象限角) 是方程①的两个根,若存在,求出 m 的 值;若不存在,说明理由. 解:若存在这样的实数 m 满足条件,由题 △ = 36m2 -32(2m+1)≥0　 ① sinα+cosα = - 3 4 m　 ② sinαcosα = 2m+1 8 >0　 ③ ∵ sinα<0,cosα<0 又 sin2α+cos2α = 1 ∴ (sinα+cosα) 2 -2sinαcosα = 1 ( - 3 4 m) 2 -2× 2m+1 8 = 1 9m2 -8m-20 = 0 ∴ m1 = 2,m2 = - 10 9 ∵ m1 = 2 则不满足①舍去,m2 = - 10 9 不满足条件③舍去 故这样的实数 m 不存在. [发现问题]　 ( 在同一道题中,如果有 sinα·cosα 及 sinα±cosα,可以用代换关系来解决. ) 【方法导拨】 1. 同角三角函数的基本关系式是根据三角函数的定义来建立的,因此基本关系式都是在三角函数有意 15　　　 义的前提下才能使用. 2. 同角三角函数的基本关系式彼此不是孤立的. 可以利用这些关系式,由 sinα,cosα,tanα,cotα,secα, cscα 中的任何一个三角函数值,都可求出另五个三角函数值,即“ 知一求五”. $