第一章第 6 课时 三角函数的诱导公式(1)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

16　　　 第 6 课时 　 三角函数的诱导公式(1) 【三点导视】 重点:掌握 2kπ+α(k∈Z),-α,π±α 形式的诱导公式. 难点:诱导公式的符号的确定. 考点:应用诱导公式进行简单的求值和化简. 【要点导学】 1. sin( π+α) = 　 -sinα　 ,　 sin( -α) = 　 -sinα　 ,　 sin( π-α) = 　 sinα　 ; cos( π+α) = 　 -cosα　 ,　 cos( -α) = 　 cosα　 ,　 cos( π-α) = 　 -cosα　 ; tan( π+α) = 　 tanα　 ,　 tan( -α) = 　 -tanα　 ,　 tan( π-α) = 　 -tanα　 . 2. 用一段话来概括 α+k·2π(k∈Z) ,-α,π±α 的三角函数的值,即 α+k·2π(k∈Z) ,-α,π±α 的三角函 数的值,等于　 α 的同名函数值　 ,前面加上一个　 把 α 看成锐角时原函数值的　 符号. 【精题导析】 例 1　 求 sin 4π 3 +cos 5π 3 +sin( - 2π 3 ) +cos( - 5π 6 ) -tan 2π 3 的值. [思路分析]　 先将角写成 π+α 或 π-α 的形式,再运用诱导公式. [随堂热身]　 解: 1- 3 2 [思考领悟]　 应用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数,转化的过程中关键是确定 符号. 17　　　 例 2　 已知 cos( 11π-3) = p( | p | ≤1,且 p≠0) ,用 p 表示-3 弧度的正弦,正切值. [思路分析]　 先确定-3 所在的象限,然后用诱导公式. [过程互动]　 ∵ -π<-3<- π 2 ∴ -3 是第三象限角 ∴ sin( -3) <0,tan( -3) >0 又 cos( 11π-3) = cos( 10π+π-3) = cos( π-3) = 　 -cos3　 = p. ∴ cos3 = -p　 ∴ cos( -3) = 　 -p　 . ∴ sin( -3) = 　 - 1-cos2( -3) 　 = - 1-p2 . tan( -3) = 　 sin( -3) cos( -3) 　 = 1-p2 p . [思考领悟]　 ( 1) 诱导公式与同角三角基本关系式是三角恒等变形的基础. ( 2) 分清诱导公式中符号的处理方法与同角三角基本关系式中平方关系的符号的处理方法的区别. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 设函数 f( x) = asin( πx+α) +bcos( πx+β) +x,其中 a,b,α,β 都是非零实数,且满足 f( 2009) = -1. [合作探究]　 求 f( 2010) 的值. 解:f(2009)= asin(2009π+α) +bcos(2009π+β) +2009 = -asinα-bcosβ+2009 = -1 ∴ asinα+bcosβ = 2010 则 f(2010)= asin(2010π+α) +bcos(2010π+β) +2010 = 4020 [发现问题]　 ( 在三角的化简问题中要做到熟练运用诱导公式,如同角三角函数关系的运用,切、割化 弦的处理办法. ) 【方法导拨】 1. 求任意角的三角函数式的一般程序:负( 角) 变正( 角) →大( 角) 变小( 角) → ( 一般) 变到 0° ~ 90° 18　　　 之间. 2. 变角要注意技巧. 如已知角“ π 6 +α” ,求未知角“ 5π 6 -α” ,可把“ 5π 6 -α” 改写成“ π-( π 6 +α) ” 等. $