第一章第 7 课时 三角函数的诱导公式(2)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

19　　　 第 7 课时 　 三角函数的诱导公式(2) 【三点导视】 重点:掌握 270° ±α,90° ±α 正弦、余弦形式的角的三角函数的诱导公式. 难点:诱导公式运用中,三角函数名称的改变以及符号的变化. 考点:应用诱导公式解决三角函数中的化简、求值和恒等式的证明问题. 【要点导学】 1. sin( π 2 -α) = 　 cosα　 ,　 sin( π 2 +α) = 　 cosα　 ; cos( π 2 -α) = 　 sinα　 ,　 cos( π 2 +α) = 　 -sinα　 . 2. sin( 3π 2 -α) = 　 -cosα　 ,　 sin( 3π 2 +α) = 　 -cosα　 ; cos( 3π 2 -α) = 　 -sinα　 ,　 cos( 3π 2 +α) = 　 sinα　 . 3. 以上公式可以概括为 π 2 ±α, 3π 2 ±α 的三角函数值,等于角 α 的　 余名　 函数的值,前面加上一个把 α 看成　 锐角　 时原函数值的符号. 【精题导析】 例 1　 设 f(n) = sin( nπ 4 +α) ,求 f(n) ·f(n+4) +f(n+2) ·f(n+6) 的值. [思路分析]　 先求 f(n+2),f(n+4),f(n+6)的代数式的值,然后用诱导公式化简,再利用同角三角函数 的关系式求解. [随堂热身] 解:f(n+2)= sin( n+2 4 π+α)= sin[ π 2 +( nπ 4 +α)] = cos( nπ 4 +α) f(n+4)= sin( n+4 4 π+α)= sin[π+( nπ 4 +α)] = -sin( nπ 4 +α) f(n+6)= sin( n+6 4 π+α)= sin[ 3 2 π+( nπ 4 +α)] = -cos( nπ 4 +α) ∴ f(n)·f(n+4) +f(n+2)·f(n+6)= -sin2( nπ 4 +α) -cos2( nπ 4 +α)= -1 20　　　 [思考领悟]　 把 nπ 4 +α 看作是一个整体,用诱导公式转化成同角三角函数关系式进行化简、求值. 例 2　 对任何实数 x 和整数 n,已知 f( sinx) = sin( 4n+1)x,求 f( cosx). [思路分析]　 由 cosx = sin( π 2 -x),而 f(sinx)= sin(4n+1)x 对于任何实数 x 均成立,所以 f(cosx)= f[sin ( π 2 -x)]. [过程互动]　 f( cosx) = f( sin( 　 π 2 -x　 ) ) = sin( 4n+1) ( 　 π 2 -x　 ) = sin( 　 2nπ+ π 2 -(4n+1)x　 ) = sin( 　 π 2 -(4n+1)x　 ) = cos( 4n+1)x [思考领悟]　 把 f( cosx) 中的 cosx 变形为 cosx = sin( π 2 -x) ,或 cosx = sin( π 2 +x) 作变量的代换是解题的 关键. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 设 α、β,满足 α∈( - π 2 , π 2 ) ,β∈( 0,π) 且 sin( 3π-α) = 2 cos( π 2 -β) ①, 3 cos( -α) = - 2 cos( π+β) ②. [合作探究]　 是否存在满足上述条件的角 α,β? 若存在,求出 α,β 的值;若不存在,说明理由. 解:由 sin(3π-α)= 2 cos( π 2 -β)　 ① 3 cos( -α)= - 2 cos(π+β)　 ② 化简为:sinα = 2 sinβ　 ③　 3 cosα = 2 cosβ　 ④ ③2 +④2 　 ∴ sin2α+3(1-sin2α)= 2 ∴ sin2α = 1 2 　 ∴ sinα = ± 2 2 　 ∴ α = - π 4 或 α = π 4 当 α = - π 4 ,由④cosβ = 3 2 　 又 0<β<π,∴ β = π 6 　 与③矛盾,舍去 当 α = π 4 ,由④cosβ = 3 2 ,0<β<π　 ∴ β = π 6 于是存在 α = π 4 ,β = π 6 使两等式同时成立. [发现问题]　 ( ( 1) 由①与②这两个关系,可以消去 α,求 β 角,也可以消去 β,求 α 角. ( 2) 如果把条件 中 α 的范围限制在 α∈( 0, π 6 ) ,那么满足条件的 α,β 还存在吗?) 21　　　 【方法导拨】 对于诱导公式中形如 k·90° ±α(k∈Z) 的各三角函数值,当 α 是偶数,得 α 的同名函数值;当 k 为奇数, 得 α 的余名函数值. 然后在前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号. 为了便于记忆可