第一章第 8 课时 正弦函数、余弦函数的图象-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

22　　　 第 8 课时 　 正弦函数、余弦函数的图象 【三点导视】 重点:掌握五点法作图,并会用此方法作出[0,2π]上的正弦曲线、余弦曲线. 难点:由正弦曲线的图象获得余弦曲线的图象,掌握图象的图象变换. 考点:(1)五点法作图的方法. (2)函数图象的变换. (3)含有 sinx,cosx 的三角式的定义域和值域. 【要点导学】 1. 正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做　 正弦曲线　 和　 余弦曲线　 . 2. 在函数 y = sinx,x∈[ 0,2π) 的图象上,起关键作用的五个点是　 (0,0) 　 ,　 ( π 2 ,1) 　 ,　 ( π,0) 　 , 　 ( 3 2 π,-1)　 ,　 (2π,0)　 . 于是,我们只要将函数 y = sinx,x∈[ 0,2π) 的图象向　 左或右　 平行移动( 每 次 2π 个单位长度) ,就可以得到正弦函数 y = sinx(x∈R) 的图象. 3. 由诱导公式 y = cosx = sin( π 2 +x) ,而 y = sin( π 2 +x) 的图象可以通过将正弦函数 y = sinx,x∈R 的图象向 　 左　 平移　 π 2 　 个单位长度而得到. 4. 函数 y = sinx 的对称点坐标　 (kπ,0)(k∈Z)　 ,对称轴方程　 x = kπ+ π 2 (k∈Z)　 . 5. 函数 y = cosx 的对称点坐标　 ( kπ 2 ,0)(k∈Z)　 ,对称轴方程　 x = kπ(k∈Z)　 . 【精题导析】 例 1　 作出下列函数的图象,y = 1-cosx,x∈[ 0,2π] 并指出函数的值域. [思路分析]　 找出余弦函数的五个关键点,作出 y = -cos,x∈[0,2π]的图象,然后将图象向上平移 1 个 单位. [随堂热身] 解:按五个关键点列表: x 0 π 2 π 3 2 π 2π cosx 1 0 -1 0 1 -cosx -1 0 1 0 -1 　 　 　 　 　 23　　　 由图可知,函数值域[0,2]. [思考领悟]　 可以从函数图象变换的角度,利用 y = sinx,y = cosx,x∈[ 0,2π] ,得到 y = Asinx+B( A≠0) 和 y = Acosx+B 的图象. 例 2　 求函数 y = 2cos( 2x- π 3 ) +3 的对称中心,对称轴方程. [思路分析]　 由于 y = cosx 的对称中心为(kπ + π 2 ,0)(k∈Z),对称轴方程为 x = kπ(k∈Z),从 y = cosx 的对称中心和对称轴的方程来分析 y = 2cos(2x- π 3 ) +3. [过程互动]　 由于 y = cosx 的对称中心为　 (kπ+ π 2 ,0)(k∈Z)　 ,对称轴方程　 x = kπ(k∈Z)　 . ∴ y = 2cos(2x- π 3 ) +3 的对称中心是当 2x- π 3 = 　 kπ+ π 2 (k∈Z)　 得 x = 　 kπ 2 + 5 12 π(k∈Z)　 . ∴ y = 2cos( 2x- π 3 ) +3 的对称轴是当 2x- π 3 = 　 kπ(k∈Z)　 得 x = 　 kπ 2 + π 6 (k∈Z)　 . 故 y = 2cos( 2x- π 3 ) +3 的对称中心为　 ( kπ 2 + 5π 12 ,3)(k∈Z)　 ,对称轴方程为　 x = kπ 2 + π 6 (k∈Z)　 . [思考领悟]　 ( 1) 对称轴与函数图象的交点就是函数的最大值或最小值点. ( 2) 如果是正弦函数,它的 对称轴和对称点又是什么呢? ( 3)y = 2cos( 2x- π 3 ) +3 与 y = 3-2cos( 2x- π 3 ) 的对称中心和对称轴相同吗? 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 给定两个函数 f(x) = sinx+2 | sinx | ,x∈[ 0,2π] ,g(x) = k,x∈R,(k 为常数) [合作探究]　 当 k 为何值时,函数 f(x) 与 g(x) 的图象有且仅有两个不同的交点? 解:f(x)= 3sinx,0≤x≤π -sinx,π<x≤2π{ 由图可知 1<k<3 [发现问题]　 ( 数形结合是一种十分重要的数学思想和方法,比如研究方程 sinx+2 | sinx | = k,3sinx = 2x 实数根的个数问题. ) 【方法导拨】 1. 进一步了解化归的数学思想,把一般问题转化为基本类型来处理. 24　　　 2. 熟练应用数形结合的思想方法. $