第一章第 9 课时 正弦函数、余弦函数的性质(1)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

25　　　 第 9 课时 　 正弦函数、余弦函数的性质(1) 【三点导视】 重点:理解正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性的概念. 难点:用定义证明 y = f(x)的周期为 T. 判断函数的奇偶性 考点:求正弦函数、余弦函数的周期及判断正弦、余弦函数的奇偶性. 【要点导学】 1. 对于函数 f(x) ,如果存在　 一个非零常数 T　 ,使得当 x 取　 定义域内的每一个值　 时,都有　 f(x+ T)= f(x)　 ,那么函数 f(x) 就叫周期函数. 　 非零常数 T　 叫做这个函数的周期. 如果在周期函数 f( x) 的所 有周期中存在　 一个最小的正数　 ,那么这个　 最小的正数　 就叫做 f(x) 的最小正周期. 2. 正弦函数是周期函数,　 2kπ(k∈Z 且 k≠0)　 都是它的周期,最小正周期是　 2π　 . 3. 函数 y =Asin(ωx+φ)及 y =Acos(ωx+φ) ,x∈R,(其中 A,ω,φ 为常数,A≠0,ω>0) 的周期 T = 　 2π ω 　 ,如 果 y = f(x) 的周期是 T,那么函数 y = f(ωx) (ω>0) 的周期是　 T ω 　 . 4. 观察正弦曲线和余弦曲线,可以看到正弦曲线　 关于原点　 对称,正弦函数是　 奇　 ( 填奇、偶) 函 数;余弦曲线　 关于 y 轴　 对称,余弦函数是　 偶　 ( 填奇、偶) 函数. 【精题导析】 例 1　 根据函数图象,判断函数的奇偶性,求函数的周期. ( 1)y = 1-cosx;　 　 ( 2)y = 1 2 ( sinx+ | sinx | ). [思路分析]　 对(2)先化简得到函数的表达式,对(1)(2) 用五点法作出函数图象,由图象判断函数的 周期性和奇偶性. [随堂热身] 解:(1)y = 1-cosx 函数是偶函数,函数的周期 T = 2π. (2)y = sinx　 (2kπ≤x≤2kπ+π)(k∈Z) 0　 　 (2kπ+π≤x≤2kπ+2π)(k∈Z){ 26　　　 ∴ 函数是非奇、非偶函数,函数的周期 T = 2π. [思考领悟]　 周期函数的图象是每隔一个周期,周期内的图象就要重复一次,函数的图象是发现函数 性质的一种最直观、最重要的方法. 在观察周期过程中,你能归纳出用代数的方法求周期和判断奇偶性吗? 例 2　 已知函数 f(x) = sin2ωx+1(ω>0) ,其图象相邻两对称轴间的距离为 2. ( 1) 求 f(x) 的表达式并判断函数的奇偶性; ( 2) 计算 f( 1) +f( 2) +…+f( 2010). [思路分析]　 由题设图象相邻两对称轴间的距离为 2,即周期是 4,求出 ω,由函数的周期性求 f(1) + f(2) +…+f(2010). [过程互动]　 ( 1) ∵ f(x) = sin2ωx+1,ω>0,它的图象相邻两条的对称轴分别经图象的最高点和最低点. 　 ∴ 函数的周期 T = 　 4　 . 又∵ T = 　 2π 2ω 　 ,∴ ω = 　 π 4 　 . 　 ∴ 函数 f(x) 的表达式 f(x) = 　 sin π 2 x+1,x∈R　 ,函数 f( x) 是　 非奇 非偶函数　 ( 填奇、偶). ( 2) ∵ f(x) = 　 sin π 2 x+1　 　 ∵ f( 1) +f( 2) +f( 3) +f( 4) = 　 4　 ∴ f( 1) +f( 2) +…+f( 2010) = 　 2011　 [思考领悟]　 ( 1) 在第( 2) 题中还可以分奇偶,即 f( 1) +f( 3) = 2,f( 2) +f( 4) = 2. ( 2) 如果求 f( 1) +f( 2) +f( 3) +f( 4) +…+f( 4n) 的值呢? 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 设函数 f(x) = 1+2sinxcosx + 1-2sinxcosx ,x∈R. [合作探究]　 ( 1) 当 x∈[ 0, π 2 ] 时,化简 f(x) 的表达式;( 2) 作出函数 y = f(x) ,x∈R 的图象; ( 3) 判断 f(x) 的奇、偶性;( 4) 指出 f(x) 的最小正周期. 解:f(x)= | sinx+cosx | + | sinx-cosx | (1)f(x)= 2cosx,x∈[0, π 4 ] 2sinx,x∈[ π 4 , π 2 ] ì î í ï ïï ï ï 　 　 (2) (3)f( -x)= | sin( -x) +cos( -x) | + | sin( -x) -cos( -x) | = | -sinx+cosx | + | sinx-cosx | = | sinx-cosx | + | sinx+cosx | = f(x) ∴ 函数是偶函数