第一章第 10 课时 正弦函数、余弦函数的性质(2)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

28　　　 第 10 课时 　 正弦函数、余弦函数的性质(2) 【三点导视】 重点:判断正弦、余弦函数的单调性及最大和最小值. 难点:正确地求出正、余弦函数的单调区间. 考点:(1)求函数的单调区间; (2)求函数的最大和最小值. 【要点导学】 1. 正弦函数在每一个闭区间　 [ - π 2 + 2kπ, π 2 + 2kπ] (k∈Z) 　 上都是增函数;在每一个闭区间　 [ π 2 + 2kπ, 3π 2 + 2kπ] (k∈Z) 　 上都是减函数;当且仅当 x = 　 2kπ + π 2 (k∈Z) 　 时取得最大值 1;当且仅当 x = 　 2kπ- π 2 (k∈Z)　 时取最小值-1. 2. 余弦函数在每一个闭区间　 [2kπ-π,2kπ] (k∈Z) 　 上都是增函数,在每一个闭区间　 [2kπ,2kπ + π](k∈Z)　 上都是减函数;当且仅当 x = 　 2kπ(k∈Z)　 时取得最大值 1,当且仅当 x = 　 (2k+1) π(k∈Z) 　 时取得最小值-1. 【精题导析】 例 1 　 ( 1 ) 函 数 y = π 2 + 1 3 sinx, x ∈ [ - π, π ] 的 单 调 递 增 区 间 是 　 [ - π 2 , π 2 ] 　 , 单 调 递 减 区 间 为　 [ -π,- π 2 ]或[ π 2 ,π]　 . ( 2) 函数 y = sin( π+x) ,x∈[ - π 2 ,π] 的单调递增区间是　 [ π 2 ,π]　 . [思路分析]　 先作出对应函数的图象,通过函数的图象判断其单调区间. [随堂热身] 29　　　 [思考领悟]　 所有函数的单调性问题都应化归为基本函数的单调性和单调区间来处理. 例 2　 已知函数 y = log 1 2 ( sin2x). ( 1) 求函数的定义域; ( 2) 求函数的值域; ( 3) 指出这个函数的单调增区间. [思路分析]　 这是一个复合函数问题,可设 y = log 1 2 t,由 t>0,求函数的定义域;由 y = log 1 2 t 单调递减及 t 的单调情况确定函数单调增区间,其值域由 t 的值域共同确定. [过程互动]　 ( 1) ∵ sin2x>0　 ∴ 2x∈　 (2kπ,2kπ+π)　 (k∈Z) ∴ f(x) 定义域为( 　 (kπ,kπ+ π 2 )　 ) ,k∈Z ( 2) 当 x∈( 　 (kπ,kπ+ π 2 )　 ) ,k∈Z 时,sin2x∈　 (0,1]　 ∴ log 1 2 ( sin2x) ∈　 [0,+∞ )　 　 即 f(x) 值域为　 [0,+∞ )　 ( 3) 设 t = sin2x,∵ y = log 1 2 t 单调递减　 ∴ 为使 f( x) 单调递增,则只需取 t = sin2x 的单调 　 减 　 且恒 　 大于　 于零的区间,∴ 2x∈　 [ π 2 +2kπ,π+2kπ)(k∈Z)　 ,故 f(x) 在　 [kπ+ π 4 ,kπ+ π 2 )　 ( k∈Z) 上是增 函数. [思考领悟]　 ( 1) 复合函数的单调性判断是按照在定义域内同增、同减是增函数,一增一减是减函数. ( 2) 判断函数奇偶性,先要判断其定义域是否关于原点对称. ( 3) 要特别注意函数的定义域. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知函数 f(x) = cosωx(ω>0) 的图象关于点 M( 3 4 π,0) 对称,且在区间[ 0, π 2 ] 上是 单调函数. [合作探究]　 求 ω 的值. 解:∵ f(x)= cosωx ∴ 3 4 πω = kπ+ π 2 　 ∴ ω = 4 3 k+ 2 3 (k∈Z) ∴ ω = 2 3 (2k+1),k = 0,1,2… 当 k = 0 时,ω = 2 3 ,f(x)= sin( 2 3 x+ π 2 )在[0, π 2 ]上是减函数. 当 k = 1 时,ω = 2,f(x)= sin(2x+ π 2 )在[0, π 2 ]上是减函数. 当 k≥2 时,ω≥ 10 3 ,f(x)= sin(ωx+ π 2 )在[0, π 2 ]上不是单调函数. 所以,综合得 ω = 2 3 或 ω = 2. [发现问题]　 ( 解决这类问题要化归为基本函数的类型来处理. ) 30　　　 【方法导拨】 1. 通过函数的图象可以总结函数的性质,但是函数的性质是准确做出函数图象的重要依据. 2. 三角函数值大小的比较,是利用诱导公式将三角函数化为同名函数的同一单调区间上进行比较. $