第一章第 11 课时 正切函数的图象与性质-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

31　　　 第 11 课时 　 正切函数的图象与性质 【三点导视】 重点:用正切线画出正切函数的图象,掌握主要性质. 难点:正切函数图象的性质和应用. 考点:(1)理解和掌握正切函数的图象和性质; (2)掌握最简三角不等式的解法. 【要点导学】 1. 正切函数是周期函数,周期是　 π　 ,是　 奇　 函数. 正切函数在　 ( - π 2 +kπ, π 2 +kπ),k∈Z　 内是增 函数. 2. 正切函数 y = tanx,x∈R 的定义域是　 {x | x∈R 且 x≠kπ+ π 2 ,k∈Z}　 值域是　 R　 . 3. 由正切函数的图象可知,正切曲线是被相互平行的直线　 x = π 2 +kπ,k∈Z　 所隔开的无穷多支曲线 组成的. 【精题导析】 例 1　 作出函数 y = tan | x | 的图象,并根据图象判断其周期性并求出单调区间. [思路分析]　 当 x≥0 时,函数 y = tan | x | 在 y 轴右侧的图象即为 y = tanx 的图象不变;当 x< 0,y = tan | x | 在左侧的图象为 y = tanx 在 y 轴右侧的图象关于 y 轴对称. 再根据函数图象判断其周期性,写出单调区间. [随堂热身] 解:y = tanx,x≠kπ+ π 2 　 x≥0 -tanx,x≠kπ+ π 2 　 x<0 ì î í ï ïï ï ï (k∈Z) 由图可知:y = tan | x | 不是周期函数,它的单调减区间是( - π 2 ,0],(kπ- 3π 2 ,kπ- π 2 )(k = 0,-1,-2,…) 单调增区间[0, π 2 ),(kπ+ π 2 ,kπ+ 3π 2 )(k = 0,1,2,…) [思考领悟]　 由 y = tan | x | 及 y = | tanx | 的图象可知:y = tan | x | 不是周期函数,y = | tanx | 是以 π 为周期的 周期函数,由两函数图象可得到其单调性和对称性. 例 2　 设函数 f(x) = tan(ωx- π 3 ) (w>0) 的周期为 π 2 . ( 1) 求函数 f(x) 的定义域;( 2) 求函数 f(x) 的单调区间;( 3) 求函数 f(x) 的图象的对称中心的坐标. 32　　　 [思路分析]　 用周期 T = π w ,来求出 w,然后通过代换 t = ωx- π 3 转化为 y = tant 的性质来分析. [过程互动]　 ( 1) ∵ f(x) = tan(ωx- π 3 ) 　 (w>0) 的周期 T = π ω ∴ π w = π 2 　 ∴ w = 2　 ∴ f(x) = tan( 2x- π 3 ) 由 2x- π 3 ≠kπ+ π 2 ,k∈Z,得 f(x) 的定义域是{x | x≠　 kπ 2 + 5 12 π　 ,k∈Z} ( 2) 设 t = 2x- π 3 ,t 随 x 的增大而增大,由 y = tant 的单调区间是(kπ- π 2 ,kπ+ π 2 ) ,k∈Z,得 kπ- π 2 <2x- π 3 <kπ+ π 2 ,k∈Z,故　 kπ 2 - π 12 <x< kπ 2 + 5π 12 (k∈Z)　 . ∴ f(x) 的单调区间是　 ( kπ 2 - π 12 , kπ 2 + 5π 12 )(k∈Z)　 . ( 3) 函数 y = tant 的图象对称中心的坐标是( kπ 2 ,0) ,k∈Z　 ∴ 2x- π 3 = 　 kπ 2 　 ,k∈Z,即 x = 　 kπ 4 + π 6 　 , k∈ Z　 ∴ 函数 f(x) 的图象对称中心的坐标是　 ( kπ 4 + π 6 ,0)(k∈Z)　 . [思考领悟]　 y = tan(ωx+φ) 的性质应该通过基本函数 y = tanx 的图象和性质来研究. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知 f(x) = sinx 1-sin2x . [合作探究]　 ( 1) 判断 f(x) 的奇偶性; ( 2) 画出 f(x) 在[ -π,π] 上的简图; ( 3) 求 f(x) 的最小正周期以及在[ -π,π] 上的单调区间. 解:(1)f(x)= sinx | cosx | 　 ∵ f( -x)= sin( -x) | cos( -x) | = - sinx cosx = -f(x)　 ∴ f(x)是奇函数 (2)f(x)= tanx( - π 2 <x< π 2 ) -tanx( -π≤x<- π 2 或 π 2 <x≤π) ì î í ï ïï ï ï (3)T = 2π,单调递增区间( - π 2 , π 2 ),单调减区间[ - π, - π 2 )、 ( π 2 ,π] [发现问题]　 ((1) 把 f(x) 变形成分段