第一章第 12 课时 函数y =Asin(ωx+φ)的图象(1)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

34　　　 第 12 课时 　 函数y = Asin(ωx+φ)的图象(1) 【三点导视】 重点:y = Asin(ωx+φ)的图象变换过程. 难点:ω 与 φ 在 y = Asin(ωx+φ)的图象变换过程中的影响. 考点:掌握由 y = sinx 到 y = Asin(ωx+φ)的变换过程. 【要点导学】 一般地,函数 y = Asin(ωx+φ) ( 其中 A>0,ω>0) 的图象,可以看作用下面的方法得到:先画出函数 y = sinx 的图象;再把正弦曲线向　 左(右)　 平移　 | φ | 　 个长度,得到 y = sin(x+φ) 的图象;然后使曲线上各点的横 坐标变化原来的　 1 ω 　 倍,得到函数 y = sin ( ωx+φ) 的图象,最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的　 A　 倍,这时的曲线就是函数 y = Asin(ωx+φ) 的图象. 【精题导析】 例 1　 ( 1) 将函数 y = sinx 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标　 扩大 　 到原来的　 2 　 倍,得到 y = sin 1 2 x. 再将函数图象沿 x 轴向　 左　 平移　 2π 3 　 个单位,得到 y = sin( 1 2 x+ π 3 ). ( 2) 将函数 y = sinx 的图象沿 x 轴向　 左　 平移　 π 3 　 个单位,得到 y = sin(x+ π 3 ). 再将函数图象保持纵 坐标不变,横坐标　 扩大　 到原来的　 2　 倍,得到 y = sin( 1 2 x+ π 3 ). [思路分析]　 由 y = sinx 先变换到 y = sin(x+ π 3 )再到 y = sin( x 2 + π 3 )和由 y = sinx 先变换到 y = sin 1 2 x 再 到 y = sin( x 2 + π 3 )是两种不同形式的变换. 可以用这两种思路来分别进行图象变换. [随堂热身] [思考领悟]　 以上两种变换是先从周期变换还是先相位变换? 用两种思路去考虑. 对于在 x 轴上平移 的单位,实质上是自变量 x 的增加值. 例 2　 将函数 y = f(x) 的图象向右平移 π 4 个单位后,再作关于 x 轴的对称变换,得到 y = cos2x 的图象,则 f 35　　　 (x) 可以是( 　 　 ). 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. cos2x B. sin2x C. 2cos2x D. 2sin2x [思路分析]　 应用变换作图的逆向思维来分析. [过程互动]　 y = cos2x 关于 x 轴对称 →　 y = -cos2x　 图象向左平移 π 4 →　 y = -cos2(x+ π 4 )　 = 　 sin2x　 . 故选 　 B　 . [思考领悟]　 这个问题要用逆向思维来分析,在变换的过程中,函数 y = cos2x 的变换,是从已知经过周 期变换后,再进行的变换. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知函数 y = 1 2 sin( 2x+ π 6 ) + 5 4 . [合作探究]　 ( 1) 当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合. ( 2) 该函数的图象可由 y = sinx 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解:(1)由 y = 1 2 sin(2x+ π 6 ) + 5 4 y 取得最大值必须且只需 2x+ π 6 = π 2 +2kπ(k∈Z) 即 x = π 6 +kπ,k∈Z. 所以,当函数 y 取得最大值时,自变量 x 的集合为{x | x = kπ+ π 6 ,k∈Z}. (2)将 y = sinx 依次进行如下变换: ①把函数 y = sinx 的图象向左平移 π 6 ,得到 y = sin(x+ π 6 )的图象; ②把得到的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2 倍(纵坐标不变),得到函数 y = sin(2x+ π 6 )的图象; ③把得到的图象上各点的纵坐标缩短到原来的 1 2 倍(横坐标不变),得到函数 y = 1 2 sin(2x+ π 6 )的图象; ④把得到的图象向上平移 5 4 个单位长度,得到 y = 1 2 sin(2x+ π 6 ) + 5 4 的图象. [发现问题]　 ( 在形如 y = Asin(ωx+φ) +k 中,k>0 时,将 y = Asin( ωx+φ) 的图象向上平移 | k | 个单位. k< 0,由 y = Asin(ωx+φ) 图象向下平移 | k | 个单位. ) 【方法导拨】 1. 由 y = sinx 变换到 y = sin(ωx+φ) 有两条思路: ( 1)y = sinx →y = sin(x+φ) →y