第一章第 13 课时 函数y =Asin(ωx+φ)的图象(2)-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

37　　　 第 13 课时 　 函数y = Asin(ωx+φ)的图象(2) 【三点导视】 重点:函数 y = Asin(ωx+φ)中,A,ω,φ 的物理意义. 难点:分析 A,ω,φ,确定函数 y = Asin(ωx+φ)的图象. 考点:(1)掌握 y = Asin(ωx+φ)中振幅,相位,初相位和周期; (2)结合五点法作函数图象求 A、ω、φ 的大小. 【要点导学】 物理中,描述简谐运动的物理量都与 y = Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0) 这个解析式中的常数有关,A 就是这个 简谐运动的　 振幅　 ,周期是　 T = 2π ω 　 ,频率是　 f = 1 T = ω 2π 　 ;　 ωx+φ　 称为相位,　 x = 0　 时的相位 φ 称 为初相. 【精题导析】 例 1　 函数 f(x) = Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0, | φ | < π 2 ) 的最小值为-2,其图象相邻的最高点与最低点横坐 标差是 3π,又图象过点( 0,1) ,求这个函数的解析式. [思路分析]　 因为最小值是- 2,故 A = 2,由相邻的最高点与最低点横坐标差,确是 T 2 = 3π,又函数过 (0,1)求出 φ 值. [随堂热身] 解:由题意得:A = 2　 T 2 = 3π　 ∴ ω = 2π T = 1 3 ∴ f(x)= 2sin( 1 3 x+φ)过(0,1) ∴ sinφ = 1 2 　 φ = π 6 　 ∴ f(x)= 2sin( x 3 + π 6 ) [思考领悟]　 如果题目中将“ 其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是 3π” 改为“ 其图象相邻的最高 点与最低点之间的距离是 2 5 ” ,那么 ω 能求出来吗? 例 1 中的函数表达式能求出来吗? 图 13-1 例 2　 如图 13-1 是函数 y = Asin(ωx+φ) (A>0,ω> 0, | φ | < π 2 ) 的图象, 由题中条件写出该函数解析式. [思路分析]　 由右图的最高和最低点可求 A,由图形与 x 轴的交点求 出 ω,将点的坐标代入函数表达式求 φ. [过程互动]　 由右图知 A = 　 5　 , T 2 = 　 5π 2 -π = 3 2 π　 ∴ T = 　 3π　 . 38　　　 ∴ ω = 2 3 . ∴ y = 　 5　 sin( 2 3 x+φ). ∵ ( π,0) 在函数图象上,将其代入上式. 得 2 3 π+φ = kπ,即 φ = kπ- 2 3 π(k∈Z). ∵ | φ | < π 2 　 ∴ φ = 　 π 3 　 . 故函数解析式 y = 　 5sin( 2 3 x+ π 3 )　 . [思考领悟]　 求解析式关键是初相 φ 的确定. 在代点的坐标求 φ 的过程中,应该由已知图象在该点处 的性质来确定角的取值. 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 已知函数 f(x) = 2sin(ωx+φ- π 6 ) ( 0<φ<π,ω>0) 为偶函数,且函数 y = f(x) 图象的两 相邻对称轴之间的距离是为 π 2 . [合作探究]　 ( 1) 求 f( π 8 ) 的值; ( 2) 将函数 y = f(x) 的图象向右平移 π 6 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到 原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y = g(x) 的图象,求 g(x) 的单调减区间. 解:(1)f(x)= 2sin(ωx+φ- π 6 )为偶函数　 φ- π 6 = kπ+ π 2 (k∈Z) 又 0<φ<π　 ∴ φ = kπ+ 2π 3 　 ∴ φ = 2π 3 又 T 2 = π 2 　 ∴ ω = 2π T = 2　 ∴ f(x)= 2cos2x　 f( π 8 )= 2cos π 4 = 2 . (2)g(x)= 2cos( x 2 - π 3 ) 2kπ≤ x 2 - π 3 ≤2kπ+π(k∈Z) 4kπ+ 2π 3 ≤x≤4kπ+ 8π 3 (k∈Z) [发现问题]　 ( 可以借助函数的奇偶性,利用正、余弦函数的基本图象来确定 φ 值的大小. ) 【方法导拨】 1. y = Asin(ωx+φ) 的图象可以采用 y = sinx 的图象变换得到,也可以通过函数图象和性质确定 A,ω,φ 的 39　　　 大小,而得到函数表达式. 2. 形如 y = Asin(ωx+φ) 性质,可以类比 y = sinx 的性质来研究. $