第一章单元知识联系与综合-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

43　　　 单元知识联系与综合 一、本章知识结构 二、知识要点与联系 1. 角是一条射线绕着它的端点旋转形成的几何图形,它由　 端点　 、　 始边　 、　 终边　 组成. 2. 角的概念推广后,包括　 正角　 、 　 负角　 、 　 零角　 . 与 α 终边相同的角表示为　 {β | β = α +k· 360°,k∈Z}　 . 3. 角的集合:终边在 x 轴上的角集合是　 {β | β = k·180°,k∈Z}　 ,在 y 轴上角的集合是　 {β | β = 90° +k ·180°,k∈Z}　 ,在第一象限角的集合是　 {β | k·360° <β<k·360° +90°,k∈Z} 　 ,在第二象限角的集合是 　 {β | k·360° +90° <β<k·360° + 180°,k∈Z} 　 ,在第三象限角的集合是　 {β | k·360° + 180° <β<k·360° + 270°,k∈Z}　 ,在第四象限角的集合是　 {β | k·360° +270° <α<k·360° +360°,k∈Z}　 ,在 y = x 上角的集合 是　 {β | β = 45° +k·180°,k∈Z}　 . 4. 弧度制:把　 长度等于半径长的弧所对的圆心角　 叫 1 弧度的角. 公式: | α | = 　 l R 　 换算:180° = 　 π　 弧度;1 弧度 = ( 　 ( 180 π )°　 ) °;1° = 　 π 180 　 弧度. 扇形:弧长 l = 　 | α | ·R　 ,面积 S = 　 1 2 lR　 . 5. 任意角的三角函数: ①定义:在角 α 的终边上任取一点 P(x,y) ,它与原点的距离 r = 　 x2 +y2 　 ( r> 0) ,正弦,余弦,正切三 个三角函数的定义依次是　 sinα = y r 　 ,　 cosα = x r 　 ,　 tanα = y x 　 . ②三角函数的定义域:tanα 的定义域为　 {β | β≠k·180° +90°,k∈Z} 　 ;cscα 的定义域为　 {β | β≠k· 180°,k∈Z}　 . ③三角函数的符号:当 α 在　 一、二　 象限时,sinα>0;当 α 在　 一、四　 象限时,cosα>0;当 α 在　 一、三 　 象限时,tanα>0. ④三角函数线:如图,角 α 的终边与单位圆交于点 P,过点 P 作 x 轴的垂 线,垂足为 M,则 OM = 　 x = cosα　 ,MP = 　 y = sinα　 ;过 A( 1,0) 作单位圆的 切线交 α 的终边或其延长线于点 T,则 AT = 　 AT = y x = tanα　 . ⑤同角三角函数关系式 平方关系:　 sin2α+cos2α = 1　 ;　 　 商数关系:　 sinα cosα = tanα　 . ⑥诱导公式 44　　　 α -α( 或 2π-α) π+α π-α 2kπ+α sinα -sinα -sinα sinα sinα cosα cosα -cosα -cosα cosα tanα -tanα tanα -tanα tanα α π 2 +α π 2 -α 3 2 π+α 3 2 π-α sinα cosα cosα -cosα -cosα cosα -sinα sinα sinα -sinα 　 　 6. 将正弦函数、余弦函数、正切函数的主要性质和图象填入下表: 函　 数 正弦函数 余弦函数 正切函数 定义域 值　 域 周期性 单调性 图　 象 三、综合型问题剖析 例 1　 已知函数 f(x) = Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0, | φ | < π 2 ) 的图象在 y 轴上的截距为 1,它在 y 轴右侧的第 一个最大值点和最小值点分别为(x0 ,2) 和(x0 +3π,-2). ( 1) 求 f(x) 的解析式; ( 2) 将 y = f(x) 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 3 ( 纵坐标不变) ,然后再将所得图象沿 x 轴正方向 平移 π 3 个单位,得到函数 y = g(x) 的图象. 写出函数 y = g(x) 的解析式,并用五点法画出 y = g( x) 在一个周期 内的图象. [分析]　 由图象得出 A,ω 的值,又图象过(0,1)求出 φ. [解]　 ( 1) 由已知 A = 2, T 2 = (x0 +3π) -x0 = 3π　 ∴ T = 6π ω = 1 3 ,把( 0,1) 代入解析式 y = 2sin( x 3 +φ) 又 | φ | < π 2 ∴ φ = π 6 　 ∴ f(x) = 2sin( x 3 + π 6 ) ( 2) 压缩后的解析式为 y = 2sin(x+ π 6 ) ,再向右平移,得 g(x) = 2s