第二章第 16 课时 相等向量与共线向量-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

52　　　 第 16 课时 　 相等向量与共线向量 【三点导视】 重点:理解向量相等和共线的含义. 难点:理解向量共线的含义. 考点:利用共线向量的性质证明三点共线或向量共线. 【要点导学】 1. 长度　 相等　 且　 方向相同　 的向量叫做相等向量. 向量 a 与 b 相等,记作　 a = b　 ,零向量与零向 量相等. 2. 任何一组平行向量　 都可移到　 同一直线上,因此,　 平行向量　 也叫共线向量. 图 16-1 【精题导析】 例 1　 在如图 16-1 所示的向量 a,b,c,e,f 中( 小正方形的边长为 1) ,是否 存在:( 1) 共线向量? ( 2) 相等向量? ( 3) 模相等的向量? 若存在,分别写出这 些向量. [思路分析]　 观察图形中各个向量的方向和长度进行判断. [随堂热身] 解:(1)存在,a 与 d 是共线向量;b,f,e 是共线向量; (2)存在,a = d; (3)存在, | a | = | c | = | d | , | b | = | f | [思考领悟]　 注意共线向量、相等向量、模相等向量的概念之间的区别和联系. 相等向量一定是共线向 图 16-2 量,也是模相等的向量,反之不然. 例 2　 如图 16-2,在正方形 ABCD 中,E 为 CD 的中点,AB = 1,动点 P 在 直线 BE 上,设 | BP → | = t. ( 1) 当 t 为何值时,DP → = BC → ? 53　　　 ( 2) 当 t 为何值时,DP → ∥EA → ? [思路分析]　 (1)由于 DP → = BC → ,则 DP → ∥BC → ,由正方形的性质可知点 P 为直线 BE 和 AD 的交点 P′. (2)由于 DP → ∥EA → ,而 | AD → | = | DP′ → | ,所以 P 为 EP′的中点. [过程互动]　 ( 1) 延长 AD 与 BE 相交于点 P′ ∵ DE = EC,∠BEC = ∠DEP′,∠C = ∠EDP′ = 90° ∴ △DEP′　 ≌　 △CEB　 ∴ | DP → ′ | = | BC → | 又∵ BC → 与 DP → ′的　 方向相同　 ,∴ DP → ′ = BC → ∴ 当 P 与 P′重合时,有 DP → = BC → 　 即当 t = 2, | BE → | = 5 时,DP → = BC → ( 2) 由( 1) 知 D 是 AP′的中点,当 P 为 EP′的中点时,DP → ∥EA → ,即 t = 　 3 4 5 　 时,DP → ∥EA → [思考领悟]　 相等向量的方向要相同,但共线向量的方向不一定相同. 图 16-3 【探究导引】 例 3　 [问题提出] 　 如图 16 - 3,点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心,则以图中 A,B,C,D,E,F,O 七个点中的任一点为起点,与该点不同的另一点为终点的所有向 量中, [合作探究]　 ( 1) 与 OA → 相等的向量有几个? ( 2) 与 OA → 共线的向量有几个? 解:(1)有 3 个分别是 EF → ,DO → ,CB → 　 (2)有 9 个分别是 EF → ,FE → ,DO → ,OD → ,CB → ,BC → ,AD → ,DA → ,AO → [发现问题]　 ( 比如图形中有几个向量与 OA → 的模相等. ) 【方法导拨】 1. 相等的向量与表示该向量的有向线段的位置无关,有向线段的平行移动不改变所表示的向量,因此 我们视作为自由向量. 54　　　 2. 平行向量就是共线向量,共线向量也可称为平行向量,这与初中学习的平行线和点的共线的概念是 不同的. 另外零向量与任何向量都可看作为共线向量. $