第二章第 17 课时 向量加法运算及其几何意义-【聚焦新课程】高中数学优质课堂（人教版必修4）

55　　　 第 17 课时 　 向量加法运算及其几何意义 【三点导视】 重点:向量加法法则的形成. 难点:对向量加法法则实质性的理解. 考点:掌握向量加法,并理解其几何意义. 【要点导学】 1. 已知非零向量 a、b,在平面内任取一点 A,作 AB → = a,BC → = b,则向量 AC → 叫做　 a 与 b 的和　 ,记作　 a+ b　 ,即　 a+b　 = AB → +BC → = AC → . 求两个向量和的运算,叫做　 向量的加法　 . 这种求向量和的方法,称为向量 加法的　 三角形法则　 . 2. 以同一点 O 为起点的两个已知不共线向量 a、b 为邻边作　 ▱OACB　 ,则以 O 为起点的对角线　 OC → 　 就是 a 与 b 的　 和　 . 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的　 平行四边形法则　 . 对于零向量 与任一向量 a,我们规定　 a+0 = 0+a = a　 . 3. 向量的加法满足　 交换律　 和　 结合律　 . 图 17-1 【精题导析】 例 1　 如图 17-1,A1A2A3A4A5A6 是正六边形. 点 O 是它的中心,B 为 A4A5 的中 点. 设 OA2 → = a,OA4 → = b,A3B → = c. ( 1) 求 OA3 → ,OB → . ( 2) 求:A1A2 → +A2A3 → +…+A6A1 → . [思路分析]　 (1)求 OA3 → 可以用平行四边形法则较方便. 求 OB → 宜用三角形法则. [随堂热身] 解:(1)OA3 → = OA2 → +OA4 → = a+b,OB → = OA3 → +A3A5 → = a+b+c (2)原式 = 0 56　　　 [思考领悟]　 关键是要准确地认定哪个向量是和向量,用向量加法的三角形法则或是平行四边形法则 是等价的方法,哪个方便主要是看两个向量的起点和终点的相对关系. 图 17-2 例 2　 如图 17-2,A 是单位圆 O 外一点, | AO → | = 2,点 B 在☉O 上. ( 1) 当直线 AB 是☉O 的切线时,求 | AO → +OB → | 及∠BAO 的大小; ( 2) 当 AO → 与 OB → 共线时,求 | AO → +OB → | . [思路分析]　 (1)由于 AB → = AO → +OB → ,只要求 | AB → | 即可,注意到∠ABO = 90°. (2)当 AO → 与 OB → 共线时,分两种情况:一是 AO → 与 OB → 方向相同,二是方向相反,无论哪种情况总有 AO → +OB → = AB → 成立. [过程互动]　 ( 1) 由于 AB 是☉O 的切线,所以 OB⊥AB,又∵ | AO → | = 2, | OB → | = 1. ∴ | AB → | = 3 . ∵ AO → +OB → = 　 AB → 　 ∴ | AO → +OB → | = 　 3 　 ,∠BAO = 　 30°　 . ( 2) 当 OB → 与 AO → 的方向相同时, | AB → | = 　 3　 　 ∴ | AO → +OB → | = 　 3　 . 当 OB → 与 AO → 的方向相反时, | AB → | = 　 1　 . ∴ | AO → +OB → | = 　 1　 . [思考领悟]　 按照向量的加法法则,无论 B 点在☉O 上运动到哪里,向量 AO → 与 OB → 总是首尾相连,总 有 AO → +OB → = AB → . 请同学们思考如何求 | AO → +OB → | 的最大值和最小值呢? 【探究导引】 例 3　 [问题提出]　 设点 O 是△ABC 的重心. [合作探究]　 证明:OA → +OB → +OC → = 0. 证明:以 OA → 、OB → 为邻边作▱OADB,连结 OD,由重心的性质可知 D、O、C 三点共线, | OD → | = | OC → | ∵ OD → 与 OC → 方向相反,而 OA → +OB → = OD → 　 ∴ OA → +OB → +OC → = 0 [发现问题]　 ( 比如:点 O 是△ABC 所在平面内一点,若 OA → +OB → +OC → = 0,则 O 一定是△ABC 的重心吗? 或类似的提出一个问题:比如 O 是正方形 ABCD 的中心,OA → +OB → +OC → +OD → 是零向量吗? 这个问题是否可以 推广?) 57　　　 【方法导拨】 1. 向量的加法法则是一个新的加法运算,其结果仍是一个向量. 2. 向量的加法虽然是一种新运算,但它仍满足交换律和结合律. 3. 向量的加法法则,可以简单地概括为“ 首尾相连首尾连”. 这样对于一个多边形 A1A2A3 …An ,总有 A1A2