7.3.2 复数乘除运算的三角表示及其几何意义-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

第7章 复 数 7.3.2 复数乘除运算的三角表示式及其几何意义 ° ° 复数三角形式的乘法 1 若复数 ,且 ，则 即两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. 例 求 两个复数相乘等于它们的模相乘而辐角相加. 【解】 复数乘法的几何意义 2 复数乘法的几何意义 两个复数 相乘时，可以先分别画出与 对应的向量 ，然后把向量 绕点 按逆时针旋转角 ，再把它的模变为原来的 倍，得到向量 表示的复数即为 . 复数乘法的几何意义 2 由复数乘法的几何意义得，两个复数的乘积可看成是向量的旋转与伸缩，那么复数对应向量的旋转与伸缩也可以转化为复数的乘积. 向量的旋转(伸缩)与两个复数的乘积的关系 当向量只涉及旋转时， 将复数 对应的向量 绕点 按逆时针方向旋转 (顺时针旋转即 )，模长伸长为原来的 倍，得到 ，则等价于复数 乘以一个模长为 ，辐角的主值为 的复数，即 . 例如，向量 与复数 对应，把 按逆时针方向旋转120°，得到，则 . 复数乘法的几何意义 2 将复数 对应的向量 绕原点按逆时针方向旋转 ，得到向量 ，则 对应的复数是多少？ 【解析】 · 复数三角形式的除法及其几何意义 3 设 ， ，因为 复数三角形式的除法 · ， 所以根据复数除法的定义，有 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 复数三角形式的除法及其几何意义 3 复数除法的几何意义 在复平面内，把与复数 对应的向量绕原点 按顺时针方向旋转15°，求与所得向量对应的复数(用代数形式表示) 【解析】与所得向量对应的复数为 ÷ ÷ 设 所对应的向量分别为 ，复数的除法 在几何上可以理解为将向量 的模 缩小为原来的 ，然后再将它绕原点顺时针旋转角 ，得到的向量 . 复数三角形式的除法及其几何意义 4 高阶拓展 利用复数的乘法不难得到如下结论—— 这说明，复数的 次方等于它模的 次方，辐角的 倍.