6.2.3 第三课时　向量的数乘-【课时分层练】2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】（人教A版2019第二册）

6.2.3第三课时向量的数乘【课时分层练】 2020-2021学年高一数学同步备课系列【中档题】 一、单选题 1．以下各说法中： ①任意一个非零实数与向量的积都是一个非零向量； ②零与任意一个向量的积都是零； ③对于任意一个非零向量，向量可以表示所有与共线的向量； ④若，则一定存在实数，使得. 正确说法的序号是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．③ 【答案】D 【分析】 根据向量的数乘运算可判断①②；根据向量共线定理可判断③④. 【详解】 对于①，若，则任意一个非零实数与向量的积都是一个零向量，故①不正确； 对于②，零与任意一个向量的积都是零向量，故②不正确； 对于③，根据向量共线定理：任意一个非零向量，有向量与其共线， 故③正确； 对于④，根据向量共线定理，若，且，则一定存在实数， 使得，故④不正确. 故选：D 【点睛】 本题考查了向量的数乘运算、向量共线定理，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 2．设是非零向量，是非零常数，下列结论中正确的为（ ） A．与的方向相反 B．与的方向相同 C． D． 【答案】B 【分析】 根据向量的概念以及向量的数乘运算的定义逐个判断即可得解. 【详解】 对于A，若即，则与的方向相同，故A错误； 对于B，因为，所以与的方向相同，故B正确； 对于C，因为，若，则，故C错误； 对于D，表示长度，表示向量，两者不相等，故D错误. 故选：B. 【点睛】 本题考查了向量的概念以及向量的数乘运算的定义，属于基础题. 3．如图，中，已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用向量加法、减法和数乘运算确定正确选项. 【详解】 依题意. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查平面向量加法、减法和数乘运算，属于基础题. 4．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 通过平行四边形法则、向量数乘运算求得. 【详解】 连接，由于，点C，D是半圆弧的两个三等分点， 所以， 由于，所以三角形和三角形都是等边三角形， 所以，所以四边形是菱形. 所以. 故选：D 【点睛】 本小题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题. 5．已知为等边三角形，点分别是的中点，连接并延长到点使得，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用向量的加法法则以及数乘运算即可. 【详解】 . 故选：A. 【点睛】 本题主要考查了向量的加法法则以及数乘运算.属于较易题. 6．已知向量与其单位向量方向相同，设，则=（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】 首先由向量与其单位向量方向相同，可得；再根据向量的线性运算，可得 【详解】 已知向量与其单位向量方向相同，， 的模长为1， ， 的模长是模长的倍， 故选：B 【点睛】 本题考查向量的线性运算以及向量的模，属于基础题. 7．已知实数和向量有下列说法： ①；②； ③若，则；④若，则. 其中，正确的说法是（ ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】 根据向量数乘运算判断①②；根据特殊值，判断③；根据向量向量数乘运算，可判断④. 【详解】 ①和②属于向量数乘运算的分配律，正确；③中，当时，，但与不一定相等，故③不正确；④正确，因为由，得，又因为，所以，即. 故选B 【点睛】 本题主要考查向量的数乘，熟记向量数乘运算的法则即可，属于常考题型. 二、多选题 8．若是直线上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的坐标为0 D． 【答案】BD 【分析】 根据，，确定与，又由于，方向相反，确定与的关系. 【详解】 因为，，所以，，，，，，的坐标为. 故选：BD. 三、填空题 9．当_______________时，． 【答案】 【解析】 若，则 故答案为 10．点在线段上，且，则______. 【答案】 【分析】 根据题意得出三点的位置，根据数乘向量的概念即可得结果. 【详解】 由可得三点的位置如图所示： 其中为的三等分点（靠近），所以， 故答案为：. 【点睛】 本题主要考查了数乘向量的概念，得到的位置是解题的关键，属于基础题. 11．已知，设，则实数____________. 【答案】2 【分析】 利用向量的减法和数乘运算，得到，从而得到的值． 【详解】 根据条件，， ∴． 故答案为：2． 【点睛】 考查向量减法及数乘运算，考查基本运算求解能力，属于基础题． 12．点在线段上，且 若.则___________. 【答案】. 【分析】 将变形为，可得即可. 【详解】 由，可得，即，所以. 故答案为：. 【点睛】