7.5正态分布-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）

7.5 正态分布 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、函数 。其中 为参数。对任意的 ， ，它的图象在x轴的上方，x轴和曲线之间的区域的面积为1，称 为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。若随机变量X的概率密度函数为 ，则称随机变量X服从正态分布，记为 。特别地，当 ， 时，称随机变量X服从标准正态分布 2、正态曲线的特点 (1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交； (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (3)曲线在x＝μ处达到峰值eq \f(1,σ\r(2π))； (4)曲线与x轴之间的面积为1； (5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； (6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 3、正态分布的三个常用数据 (1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 题型一 正态分布的计算 例 1　已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)．若P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝(　　) A．0.477　　 B．0.628 C．0.954 D．0.977 　C　[解析] 因为μ＝0，所以P(X>2)＝P(X<－2)＝0.023， 所以P(－2≤X≤2)＝1－2×0.023＝0.954. 已知随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，若P(X＞2)＝0.15，则P(0≤X≤1)＝(　　) A．0.85　　　　　　　　　　 B．0.70 C．0.35 D．0.15 【解析】　P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)＝0.5－P(X＞2)＝0.35. 题型二 正态分布实际应用 例 2　某投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X(单位:万元)分别服从正态分布N(8,32)和N(7,12).投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案? 解对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ1=8,σ1=3, P(X>5)==0.841 35. 对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ2=7,σ2=1, P(X>5)==0.977 25. 显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案