第4讲 二倍角公式与三角变换的应用（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第4讲 二倍角公式与三角变换的应用 知识梳理 1．二倍角公式 ；； 。 2．半角公式 ；； （） 3.积化和差公式 4.和差化积公式 例题解析 一、二倍角公式三角恒等式 [（ ） ] ] 例1．（2020·宝山区·上海交大附中高一期末）已知，，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由同角三角函数关系式,可由求得.再求得,结合正切的二倍角公式即可求得的值 （2）由同角三角函数关系式,可先求得,.将变形为,由余弦的差角公式展开并代入已知值即可求得的值 【详解】（1）由同角三角函数关系式, 代入可得 而，所以，则 所以由正切二倍角公式可得 （2）由同角三角函数关系式及且,., 则可求得, 则由余弦差角公式化简可得 【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正切二倍角公式及余弦差角公式的应用,角的配凑法应用,属于中档题. 例2．（2020·上海高一课时练习）证明下列恒等式： （1）； （2）. 【分析】（1）利用二倍角降幂公式结合诱导公式可证得等式成立； （2）利用二倍角余弦公式结合弦化切的思想化简可证得等式成立. 【详解】（1）； （2） 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式证明恒等式，在利用二倍角余弦公式时有升幂与降幂两种书写形式：升幂：；. 降幂：；. 考查计算能力，属于中等题. 例3．（2020·上海高一课时练习）已知，，求的值. 【答案】 【分析】由三角函数的基本关系式，求得，再由诱导公式，求得，进而得到，最后利用两角差的正切公式，即可求解. 【详解】由，且，可得， 又由诱导公式，可得，即， 可得， 所以. 【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式和正切的两角差的公式的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 巩固练习 1.已知，求的值 【难度】★ 【答案】；； 【解析】∵ ∴ ∴ 2.=____________. 【难度】★★ 【答案】 3.已知为第三象限角,且,求的值。 【难度】★★ 【答案】 【解析】 解得,;又因为为第三象限角, 所以;所以 4.在中，角满足，求角的度数. 【难度】★★ 【答案】 【解析】在中，，由 得，所以. 于是. 5.（1）已知，求的值； （2）已知，求：的值． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】（2）∵ ，∴ ． 于是，原式． 6.若,求的值 【难度】★★ 【答案】 【解析】且,所以是钝角 由得 所以 所以, 所以, 7.已知，化简：=________ 【难度】★★ 【答案】 8.化简，求值 （1） （2） （3） （4） （5） 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）；（3）2；（4）-2；（5）2 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 （5） 原式 9.已知,则的值为（ ） A. B. C.4 D.8 【难度】★★ 【答案】D 【解析】∵, ∴. 10.已知角α在第一象限且,则等于（ ） A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 【解析】∵角α在第一象限且, ∴.∴ 故选C. 11.求值：_________. 【难度】★★ 【答案】 12.已知，，求的值． 【难度】★★ 【答案】 13.若tan = 3，求sin2 cos2 的值 【难度】★★ 【答案】 【解析】sin2 cos2 = 14.已知，，求和的值 【难度】★ 【答案】 【解析】因为，所以 所以； 15.求值： 【难度】★★ 【答案】2 16.已知 (1)求的值 (2)求的值. 【难度】★★ 【答案】(1) ,;(2) 【解析】(1)由题意得，即，， 又，， （2） ， 于是 又 又 17、如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为． （1）求的值； （2）若，求的值． 【难度】★★★★ 答案：（1）．（2）． 18、已知，． （1）求的值； （2）求的值． 【难度】★★★★ 答案：（1），（2）． 19、已知，，，且． （1）求的值； （2）求的值． 【难度】★★★★ 答案：（1）．（2）． 二、三角变换的应用 例1.证明sin ＝± 【难度】★ 【答案】证明： sin2 α＝，sin2 ＝，sin ＝±. 例2.已知，，求和的值. 【难度】★★ 【答案】； 【解析】∵ ∴ 化简得： ∴ ∵ ∴ ∴ ，即 例3.设，求的值； 【难度】★★ 【答案】 例4.若，则的值为 　 【难度】★★ 【答案】2013 【巩固训练】 1.若为第二象限角，当时，