第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式（讲义）-【教育机构专用】2021年春季高一数学辅导讲义（沪教版2020必修第二册）

第3讲 两角和与差的正弦、余弦、 正切公式 知识梳理 两角和与差的三角函数 ； 。 例题解析三角恒等式 一、两角和与差的正余弦公式 例1．（2019·上海市行知中学高一月考）已知. （1）求； （2）若，求； （3）求. 【答案】（1）；（2）；（3）, 【分析】（1）将和分别求平方后求和,即可求解； （2）整理方程组可得到,由,可解得,进一步求得代入求解即可； （3）先利用二倍角公式,可得,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可 【详解】（1）由题,, , 则 , 则 （2）由（1）可得,当时,即 则,所以, 即,则,所以 所以, 故 因为 ,所以 （3）由（1）可得, 则 因为 当时,, 则, 所以, 当时, , 则, 所以 , , 综上,, 【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力 例2．（2019·上海市青浦高级中学高一月考）在平面直角坐标系中,先将线段OP绕原点O按逆时针方向旋转角再将OP的长度伸长为原来的倍,得到我们把这个过程称为对点P进行一次T,变换得到点例如对点P进行一次变换,得到点 (1)试求对点进行一次变换后得到点的坐标； (2)已知对点进行一次换后得到点求对点再进行一次变换后得到点的坐标. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由已知得将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到可得的坐标； （2）计算出，求得，从而得所以，再可求得，根据点的位置得，得，从而求得，，可求得的坐标. 【详解】（1）由已知得变换是将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转角再将OA的长度伸长为原来的倍,得到所以的坐标是； （2）因为对点进行一次换后得到点 所以，所以， 所以， 设与轴的正方向的夹角为，则 并且 根据， 因为，所以，所以 ，， 所以，所以的坐标为. 【点睛】本题考查根据新定义解决实际问题的能力，关键在于理解新定义的含义，并能根据定义解决问题，在本题中求出和是关键，属于难度题. 巩固练习 1.利用两角和与差的余弦公式证明.[（ ） ] ] 【难度】★ 【答案】证明： 2.对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ） A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 3.已知锐角满足，求 【难度】★★ 【答案】 【解析】∵为锐角且 由，得 又 ∴为锐角 ∴ 4.已知且、、均为钝角，求角的值. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 由已知， ① ② ①2+②2 5.已知，，，求：、. 【难度】★★ 【答案】； 【解析】∵，∴， 又∵，， ∴， 6.化简: 【难度】★★★ 【答案】 【解析】原式＝ 7.证明： ，其中. 【难度】★ 【答案】证明：（如图） ＝＝. 8.已知cos+sin=,则sin的值是 . 【难度】★ 【答案】 9．利用特殊角的值求. 【难度】★ 【答案】 【解析】 ＝×－×＝－＝. 10．在中，如果，则为 （ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.锐角或直角三角形 【难度】★ 【答案】A 11．下列四个命题中假命题是（ ） A.存在这样的，使得 B.不存在无穷多个，使得 C.对于任意的， D.不存在这样的，使得 【难度】★★ 【答案】B 12．求的值为__________. 【难度】★ 【答案】 13．如果，且，那么（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】A 14．已知，则的取值范围是__________. 【难度】★★ 【答案】 【解析】令，① ，② 由①2+②2，得. ∴∈［-2,2］. ∴ 15.已知求的值. 【难度】★★ 【答案】 16.的值是 (　　) A. B. C. D. 【难度】★★ 【答案】C 【解析】原式＝＝ ＝＝. 17. 若，则下列各式中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【难度】★★ 【答案】D 18.已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B等于 (　　) A. B. C.或 D. 【难度】★★ 【答案】B 19.已知，则__________. 【难度】★★ 【答案】 20．已知，求的值. 【难度】★★ 【答案】 21．已知：实数、满足，求证：。 【难度】★★ 【答案】证明：∵，∴，同理. 设，；， 代入，得＝1， 即： ∵，，∴ 因此 ∴. 22．函数的最大值是( ) A. B.17 C.13 D.12 【