专题9：数学探究　杨辉三角的性质与应用课时作业-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

专题9：数学探究　杨辉三角的性质与应用课时作业（解析版） 一、单选题 1．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】 根据杨辉三角数的特征，中间数等于上一行肩上两数之和，即可得出结论. 【详解】 从第三行起头尾两个数均为1， 中间数等于上一行肩上两数之和， 所以 . 故选：C. 【点睛】 本题考查杨辉三角中数的排列规律，解题时应通过观察、分析和归纳，发现其中的规律，从而解决问题，属于基础题. 2．如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( ) A．5 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】 由杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，求得答案. 【详解】 杨辉三角形中，各数值等于其“肩数”之和，所以a=3+3=6. 故选：C 【点睛】 本题考查杨辉三角中数据的特征，属于基础题. 3．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”.若将这些数字依次排列构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，则此数列的第2020项为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 直接利用二项式定理，组合数，等差数列的前 项和公式的应用求出结果 【详解】 由“杨辉三角形”可知：第一行1个数，第二行2个数，...，第n行n个数， 所以前n行共有： ，当 时， ， 所以第2020项是第64行的第4个数字，即为 ， 故选：A. 【点睛】 此题考查二项式定理，组合数，等差数列的前 项和公式，考查运算能力和转化能力，属于基础题. 4．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为（ ） A．2060 B．2038 C．4084 D．4108 【答案】C 【分析】 先由题意，根据杨辉三角的特征，得到杨辉三角形的前 行的和，再求出去除所有为 的项之和，构成数列的和，进而可求出结果. 【详解】 次二项式系数对应杨辉三角形的第 行，例如 ，系数分别为 ， ， ，对应杨辉三角形的第 行， 令 ，就可以求出该行的系数之和；第 行为 ，第 行为 ，第 行为 ，以此类推，即每一行数字之和构成首项是 ，公比是 的等比数列， 则杨辉三角形的前 行的和为 ， 若去除所有为 的项，则剩下的每一行的个数为 ， ， ，...，可看成以 为首项，以 为公差的等差数列，则 ， 当 时， ，去除两端的 可得 ， 则此数列的前 项的和为： . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查杨辉三角的应用，涉及数列的求和，属于常考题型. 5．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用 表示三角形数阵的第 行第 个数，则 （ ） A．5050 B．4851 C．4950 D．5000 【答案】B 【分析】 依据二项展开式系数可知，得到第 行第 个数应为 ，即可求得 的值. 【详解】 依据二项展开式系数可知，第 行第 个数应为 ， 故第100行第3个数为 故选： . 【点睛】 本题考查二项展开式的应用，其中解答中得出第 行第 个数应为 是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 6．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（ 年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ……．记作数列 ，若数列 的前 项和为 ，则 ＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由归纳推理及等比数列前 项和可得：即 在第11组中且为第11组中的第2个数，则 ，得解． 【详解】 解：将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1， ． 分组为（1）， ， ，2， ， ，3，3， ， ，4，6，4， 则第 组 个数且第 组 个数之和为 ， 设 在第 组中， 则 ， 解得： ， 即 在第11组中且为第11组中的第2个数，即为 ， 则 ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了归纳推理及等比数列