专题8：第六章计数原理单元测试卷（培优题）-【上课小助手】2020-2021学年高二数学同步备课（人教A版2019选择性必修第三册）

专题8：第六章计数原理单元测试卷（培优题）（解析版） 一、单选题 1．已知 的展开式中 的系数为5，则 （ ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】A 【分析】 将化简为 分别计算 的系数，相加为5解得 . 【详解】 ， 中 的系数为： ， 中 的系数为： ， 的系数为： ，解得 ， 故选：A. 2．现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（ ） A．1024种 B．1023种 C．1536种 D．1535种 【答案】D 【分析】 先看一张人民币的取法，再看2张100元人民币的取法，利用分步计数原理计算即可. 【详解】 除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况， 2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况， 再减去这些人民币全不取的1种情况， 所以共有 种． 故选：D. 【点睛】 误解：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取2种情况，减去全不取的1种情况，共有 种． 错因分析：这里100元面值比较特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况． 3．已知二项式 的展开式中所有项的系数和为512，函数 ， 且 ，则函数 取最大值时 的取值为（ ） A．4 B．5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】 令 ，可得展开式中所有项的系数和，即可求出 的值，从而可得出 再利用二项式系数最值性即可求解. 【详解】 因为二项式 的展开式中所有项的系数和为512， 令 ，得 所以 ，二项式展开式有10项， 则由二项式系数最值性可知第5项和第6项的二项式系数最大， 所以当 或5时， 最大， 故选：C 【点睛】 本题主要考查了二项式展开式所有项的系数之和，以及展开式中二项式系数最大的项，属于基础题. 4．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A､B､C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（ ） A．6种 B．8种 C．12种 D．48种 【答案】D 【分析】 由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数. 【详解】 游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口， 1、3个景点选一个先游览有 种选法，2种进出方式，故有 种； 2、2个景点选第二个游览有 种选法，有2种进出方式，故有 种； 3、最后一个景点有2种进出方式； ∴综上，一共有 种. 故选：D 【点睛】 本题考查了分步计数原理，利用分步乘法求总计数，属于基础题. 5．已知 .则 （ ） A．-30 B．30 C．-40 D．40 【答案】B 【分析】 令 ，得 ，进而得含 的项为 ，从而得解. 【详解】 令 ，则有： ， 即 ， 展开式的通项公式为： ， 所以 中含 的项为： . 故选：B. 【点睛】 关键点点睛：本题解题的关键是令 ，转化为求 的展开中含 的项. 6． 是全面实现小康社会目标的一年，也是全面打赢脱贫攻坚战的一年.复旦大学团委发起了“跟着驻村第一书记去扶贫”的实践活动，其中学生小明与另外 名学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙 个贫困村参与扶贫工作，若每个村至少分配 名学生，则小明恰好分配到甲村的方法数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 对甲村分配的学生人数进行分类讨论，结合分类加法计数原理可求得结果. 【详解】 若甲村只分配到 名学生，则该学生必为小明，此时分配方法数为 种； 若甲村分配到 名学生，则甲村除了分配到小明外，还应从其余 名学生中挑选 名学生分配到该村，此时分配方法数为 种. 综上所述，不同的分配方法种数为 种. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 7．如图，在某城市中， 、 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 、 、 、 是道路网中位于一条对角线上的 个交汇处．今在道路网 、 处的甲、乙两人分别要到 、 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达 、 处为止．则下列说法错误的是（ ）． A．甲从 到达 处的方法有 种 B．甲从 必须经过 到达 处的方法有 种 C．甲、乙两人在 处相遇的概率为 D．甲、乙两人相遇的概率为 【答案】D 【分析】 A选项，甲从 到达 处的方法有 种可判断；B选项，甲经过 ，可分为两步：第一步，甲从 经过 的方法数，第二步，甲从 到 的方法数从而可判断，从而可判断；C选项，甲经过 的方法数为 种，乙经过 的方法数也为 ，可得出甲、乙两人在 处相遇的概率，从