4.3. 2 等比数列的前n项和公式-【上课小助手】2020-2021学年高二数学（人教A版选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 问题提出 小林和小明做”贷款”游戏,他们签订了一份合同.从签订合同之日起,在整整一个月(30天)中,小明第一天贷给小林1万元,第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元.而小林按这样的方式还贷:小林第一天只需还1分钱,第二天还2分钱,第三天还4分钱……以后每天还的钱数是前一天的两倍. 30天后,小林和小明谁得到的钱多? 问题提出 设30天后,小林得到的钱数为T30(万元),小林得到的钱数为S30(分),则根据合同 T30=1+2 +3 +4 +…+30 =465(万元) S30=1+2+22+…+229 如何计算S30呢? 思路一 S30=1+2+22+…+229 =1+2(1+2+22+…+228) =1+2(S30 -229) S30-2S30 =1-230 S30 =230-1 ① 问题提出 思路二,观察①,得 S30=1+2+22+…+229 2S30=2+22+…+229+230 ③- ② ,得 S30 =230-1 ② ③ S30 =1073741823(分)= 1073.741823(万元) 抽象概括 ① ② 将上述方法推广到一般等比数列求和. ①两端同乘以q，得 设 ①－②得　　　　　　　　　　 于是 当　　 时，　　　　　　 . 当　　 时 ，由①可得　　　　 或 例5(1)已知等比数列{an}中, a1=2,q=3.求S3; (2)求等比数列 的前10项的和. 解:(1) (2)因为公比 例6：五洲电扇厂去年实现利税300万元,计划在以后5年中每年比上年利税增长10%.问从今年起第5年的利税是多少?这5年的总利税是多少(结果精确到万元)? 解 每年的利税组成一个首项a1=300,公比q=1+10%的等比数列.从今年起,第5年的利税为 这5年的总利税为 例7 一个热气球在第一分上升了25m的高度,在以后的每一分里,它上升的高度都是它在前一分上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗? 解 用an表示热气球在第n分上升的高度,由题意,得 所以数列{an}是首项 公比 的等比数列 热气球在n分时间里上升的总高度 答 这个热气球上升的高度不可能超过125m 例8 如图,作边长为a的正三角形的内切圆,