17 求解斜上抛运动射高和射程的两个小妙招（物理部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■潘 慧 斜上抛运动是 一 种 复 杂 的 曲 线 运 动,往 年高考中很少出现考查斜上抛运动相关计算 的试题,而2020年高考山东卷中出现了涉及 求解斜上抛运动“射高”和“射程”的试题,使 得很多同学感觉不知从何入手。下面介绍两 个求解 斜 上 抛 运 动“射 高”和“射 程”的 小 妙 招,希望能够帮助同学们轻松化解这类难题。 一、正交分解求“射高” 斜上抛运动的“射高”是指做斜上抛运动 的物体在运动过程中距水平面或斜面的最大 距离,因此建立以竖直方向或垂直于斜 面 方 向为y 轴的平面直角坐标系,将做斜上抛运 动物体的初速度或加速度沿x 轴和y 轴正交 分解,就可 以 利 用“沿 y 轴 方 向 的 末 速 度 为 0”这个隐含条件求“射高”了。 1.正交分解初速度。 例1 固定在水平地面上的迫击炮炮筒 与水平方向成60°角,炮弹从炮口射出时的速 度是v0,若忽略空气阻力和炮筒的长度,已知 重力加速度为g。求炮弹的射高。 建立 如 图1所 示 的 平 面 直 角坐标系,将炮弹的斜上抛运动 分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方 向上的 竖 直 上 抛 运 动。将 炮 弹 的 初 速 度v0 沿y 轴方向分解得vy=v0sin60°。设炮弹的 射高为h,因为炮弹到达最高点时在竖直方 向上的末速 度 为0,所 以 在 竖 直 方 向 上 根 据 运动学公式得0-v2y =-2gh。联 立 以 上 二 式解得h= 3v20 8g 。 图1 因为射高隐含着“竖直方 向上的末速度为0”这个条件, 所以应建立以竖直方向为y 轴的平面直角坐 标系。因为初速度不在坐标轴上,所以需要沿 y 轴方向分解初速度,从而分析得出沿y 轴方 向分运动的规律,最后运用运动学公式即可求 得炮弹的射高。 2.正交分解初速度和加速度。 例2 如图2所示,固定在倾角θ=30°的 斜面上的迫击炮炮筒与水平方向成30°角,炮 弹从炮口射出时的速度是v0,若忽略空气阻 力和炮筒 的 长 度,已 知 重 力 加 速 度 为 g。求 炮弹射出后距斜面的最大距离。 图2 建立 如 图3所 示 的 平 面 直 角坐标系,将炮弹的斜上抛运动 分解为沿斜面方向的匀加速直线运动和垂直 于斜面方向的匀减速直线运动。将炮弹的初 速度v0 和重力加速度g 分别沿y 轴方向分 解得vy=v0sin60°,gy=gsin60°。设炮弹射 出后距斜面的最大距离为h,因为炮弹到达 距斜面最大距离处时沿y 轴方向的末速度为 0,所以在y 轴方向上根据运动学公式得0- v2y=-2gyh。联立以上三式解得h= 3v20 4g 。 图3 73 物理部分·经典题突破方法 高一使用 2021年2月 因为 距 斜 面 的 最 大 距 离 隐含“垂直于斜面方向上的末 速度为0”这个条件,所以应建立以垂直于斜 面方向为y 轴的平面直角坐标系。因为除了 初速度不在 坐 标 轴 上,加 速 度 也 不 在 坐 标 轴 上,所以需要沿y 轴方向同时分解 初 速 度 和 加速度,然后运用运动学公式求解。 二、矢量分解求“射程” 斜上抛运动的“射程”是指做斜上抛运动 物体的落点距出发点的距离,若以初速 度 方 向和竖直方向建立矢量坐标系,则斜上 抛 运 动就可以被分解成沿初速度方向的匀速直线 运动和沿竖直方向的自由落体运动,“射程” 就是这两个分运动的合位移,从而就可 以 利 用分位移 和“射 程”构 造 的 特 殊 三 角 形 求 解 “射程”了。 1.矢量分解构造直角三角形。 例3 求解例1所述条件下炮弹在水平 地面上的射程。 图4 建立 如 图4所 示 的 矢 量 坐 标 系, 将炮弹的射程 L 分 解 成 沿x 轴 和y 轴两个方向上的分位移,根 据运动学 公 式 得Lx=v0t,Ly = 1 2g t2。根 据 几 何 关 系 可 知, △OAB 为 直 角 三 角 形,则 sin60°= Ly Lx ,L=Lxcos60°。联 立以上各式解得L= 3v20 2g 。 因为 矢 量 分 解 不 用 分 解 初速度,所以直接利用由两个 分位移和射程构造的直角三角形进行分析计 算简单快捷。 2.矢量分解构造等边三角形。 例4 求解例2所述条件下炮弹在斜面 上的射程。 建立 如 图5所 示 的 矢 量 坐 标系,将炮弹的射程L 分解成沿 x 轴和y 轴两 个 方 向 上 的 分 位 移,根 据 运 动 学公式得Lx=v0t,Ly= 1 2g t2。根据几何关 系可知,△OAB 为等边三角形,则Lx=Ly= L。联立以上三式解得L= 2v20 g 。 图5 因为 矢 量 分 解 不 用 分 解 初速度和加速度,两个分运动 的图形比较 简 洁 清 晰,所 以 直 接 利