16 对一个平抛与斜面结合问题的探析（物理部分）-《中学生数理化》高一使用2021年2月刊

■王伟民 例题 如图1所示,斜面上从底端 O 起 图1 由下 至 上 有 等 间 距 的 五 点 O、A、B、C、D, 从 O 点正上方某处以 水平速度v0 向右抛出 的小 球 刚 好 落 在 斜 面 上 的 B 点,不 计 空 气 阻力。若 每 次 都 从 同 一点水平向右抛出小球,则下列说法中 正 确 的是( )。 A.以速度 v0 2 抛出,一定落在 A 点 B.以速度 v0 2 抛出,一定落在 A、B 两点间 的某点 C.以速度2v0 抛出,一定落在 D 点 D.以速度2v0 抛出,一定落在C、D 两点 间的某点 在不 考 虑 空 气 阻 力 的 情 况 下,做平抛运动的小球在竖直方 向上做自由落体运动(初速度为0,加速度为 g 的匀加速运动)的同时在 水 平 方 向 上 做 匀 速直线运动(速度等于抛出时的初速度),其 运动轨迹是以抛出点为顶点开口向下的抛物 线的一部分。从一定高度水平抛出的小球落 在同一水平面上时的水平位移与小球抛出时 的初速度的大小成正比,因此当小球抛 出 时 的初速度变为原来的 1 2 时,小球落在同一水 平面上的水平位移将是原来的 1 2 ;当小球抛 出时的初速度变为原来的2倍时,小球落在 同一水 平 面 上 的 水 平 位 移 也 将 是 原 来 的2 倍。观察题目给出的四个选 项 可 以 发 现,解 答本题的关键是判断小球落在斜面上的点到 抛出点的距离在水平地面上投影的长度是否 还与小球抛出时的初速度的大小成正比。 图2 如图2所示,以 斜面 的 底 端 点 为 坐 标原点,水平向右为 x 轴的正方向,竖直 向上 为 y 轴 的 正 方 向,建立平面直角坐 标 系。设 小 球 的 抛 出点 P 在距离O 点正上方h 处,小球两次抛 出时的速度之比为1∶2,E、F 是小球在水平 面上对应的两个落点,易知xOE∶xOF=1∶2, 即E 为线段OF 的中点。设 过 O 点 的 斜 面 在坐标系内的解析式为y=kx(k>0),以较 大初速度(设为v1)抛出的小球在坐标系内运 动轨迹的解析式为y=-ax2+h(a>0,h> 0),则以较小初速度 v1 2( ) 抛出的小球在坐标 系内运 动 轨 迹 的 解 析 式 为 y=-4ax2+h (a>0,h>0)。设两抛物线与斜面的交点分 别为 M 和 N(小球在斜 面 上 的 落 点),x1'和 x1 分别是 两 抛 物 线 与 斜 面 所 在 直 线 在 第 一 象限内交点的横坐标(斜面所在直线与两抛 物线各有2个交点,分别在第一象限和第三 象限)。由 y=kx, y=-ax2+h{ 得ax 2+kx-h= 0,解 得 x = -k± k2+4ah 2a ,取 x1 = -k+ k2+4ah 2a = k2+4ah-k 2a ; 由 y=kx, y=-4ax2+h{ 得4ax 2+kx-h=0,解 得 x= -k± k2+16ah 8a , 取 x1' = -k+ k2+16ah 8a = k2+16ah-k 8a 。因 此 x1 x1' = k2+4ah-k 2a k2+16ah-k 8a = 4(k2+4ah-k) k2+16ah-k 。 53 物理部分·知识结构与拓展 高一使用 2021年2月 观察图2可以发现 M 点应在线段ON 中点 偏右的位 置,即x1 x1' = 4(k2+4ah-k) k2+16ah-k <2, 变形得k< k2+4ah,由 数 学 知 识 可 知,当 k>0,a>0,h>0时,k< k2+4ah 成立,与 观察结果一致。综上所述,从 斜 面 底 端 正 上 方确定位置两次水平向右抛出的小球,若 小 球抛出时的初速度之比为1∶2,则小球在斜 面上对应的两个落点与斜面底端点间的距离 之比不是1∶2,而是初速度较小时的落点在 初速度较大时落点与斜面底端点确定线段的 中点偏上方的位置。 根据上述分析可知,以 速 度v0 2 抛 出 的 小 球一定落在 A、B 两点间的某点,以速度2v0 抛出的小球一定落在C、D 两点间的某点。 答案:BD 变式:甲、乙二人分两次进行立定跳远比 赛。第一次他们站在一个平台的拐角上向对 面的斜坡跳进行比赛,如图3所示,斜坡的底 端O 在起跳位置P 的正下方,二人用尽全力 沿水平方向 跳 出 后,甲 跳 至 B 点,而 乙 只 跳 至 A 点,测量发现lOB =2lOA;第二次他们在 平地上比 赛,如 图4所 示,与 第 一 次 比 赛 相 比,假设第二次二人起跳的初速度大小不变, 起跳的初速度与水平面间的夹角相等,甲、乙 二人 的 落 地 点 分 别 为 D 和C。将 人 视 为 质 点,不考虑空气阻力的影响,设k= lOD lOC ,则下