专题10 空间向量与立体几何-高三数学百所名校好题分项解析汇编之新高考地区专版(2021版)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之新高考地区专版(2021版) 专题10 空间向量与立体几何 一、单选题 1．《算数书》竹简于上世纪八十年代在我省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中有一道求“困盖”体积的题：困下周六丈高二丈，求积.即已知圆锥的底面周长为6丈，高为2丈，求圆锥的体积.《算数书》中将圆周率近似取为3，则该困盖的体积(单位：立方丈)约为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【来源】2020年湖北省普通高中学业水平合格性考试数学试题 【答案】A 【分析】设圆锥底面半径为，则，，. 故选：A. 2．四面体中，，且异面直线与所成的角为.若四面体的外接球半径为，则四面体的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【来源】浙江省绍兴市稽阳联谊学校2020-2021学年高三上学期11月联考数学试题 【答案】A 【分析】构建直三棱柱，设分别为的外心，连接，取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也为四面体的外接球的球心，因为异面直线与所成的角为，所以. 设三棱柱底面的外接圆半径为，则， ，再由余弦定理，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 故四面体的体积的最大值为. 故选：A. 3．将一个棱长为1的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的表面积为（ ） A． B． C． D． 【来源】天津市部分区2020-2021学年高三上学期期中练习数学试题 【答案】B 【分析】由条件可知：球为正方体的内切球时，此时球最大，此时球的半径为正方体棱长的即为，所以表面积为： ，故选：B. 4．若棱长为2的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【来源】天津市静海区2020-2021学年高三上学期第一次月考数学试题 【答案】A 【分析】因为正方体的外接球的直径， 所以棱长为2的正方体外接球的直径，所以该球的表面积. 故选：A. 5．设为等腰三角形，，，为边上的高，将沿翻折成，若四面体的外接球半径为，则线段的长度为（ ） A． B． C． D． 【来源】浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中数学试题 【答案】D 【分析】作出翻折后四面体的图形，如图： ，，， 平面， 由，，则，, 设球心到平面的距离为，的外接圆半径为， 四面体的外接球半径为， 由图可得，解得， 在，由正弦定理可得，（为锐角） 解得，所以，因为，所以为等边三角形，所以. 故选：D 6．设､为两条直线，､为两个平面，则下列命题中假命题是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【来源】上海市长宁区2021届高三上学期一模数学试题 【答案】C 【分析】A．若，，，相当于两平面的法向量垂直，两个平面垂直，A正确； B．若，，则，又，则平面内存在直线，所以，所以，B正确； C．若，，，则可能相交，可能平行，C错； D．若，，，则的法向量平行，所以，D正确． 故选：C． 7．在正方体中，下列四个结论中错误的是（ ） A．直线与直线所成的角为 B．直线与平面所成的角为 C．直线与直线所成的角为 D．直线与直线所成的角为 【来源】上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）数学试题 【答案】B 【分析】连接∵为等边三角形，∴，即直线与所成的角为60°，故选项A正确； 连接，∵，∴四面体是正四面体， ∴点在平面上的投影为的中心，设为点O，连接，，则，设直线与平面所成的角为θ，则，故选项B错误； 连接，∵，且，∴直线与所成的角为90°，故选项C正确； ∵平面，∴，即直线与所成的角为90°，故选项D正确． 故选：B． 8．《九章算术》中，称底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马.设是正八棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正八棱柱的顶点为顶点，以为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ） A．8 B．16 C．24 D．28 【来源】江苏省南通市启东市2020-2021学年高三上学期期中数学试题 【答案】C 【分析】根据正八边形的性质可得，底面边长都相等，底面每个内角都为， ，，所以 ，，，又因为平面， 且，则平面，又因为，所以共有4个阳马； 同理，平面，共4个； 平面，共4个； 平面，共4个； 平面，共4个； 平面，共4个； 故有24个阳马. 故选：C. 9．若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期月考（三）数学试题 【答案】A 【分析】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 10．如图，在四