2.5.1　第2课时　直线与圆的方程的应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

第2课时　直线与圆的方程的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能正确理解直线与圆的方程． 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题． 3．体会坐标法解决平面几何问题的“三步曲”. 通过直线与圆的方程应用的学习，进一步提升直观想象、逻辑推理、数学运算以及数学建模的核心素养. [对应学生用书P49] 直线与圆的方程的应用 用坐标法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)利用坐标法解决几何问题时，可以随意建立坐标系．(　　) (2)在实际问题中，应注意变量的取值范围．(　　) (3)最后一步要将代数结果转化为几何结论．(　　) (4)求直线与圆的方程的实际应用问题的解题步骤是：审题；建系；求解；还原．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．(教材P93例3改编)一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距离地面的高度不得超过(　　) A．1.4米　　 B．3.0米　　 C．3.6米　　 D．4.5米 C　[可画出示意图，如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝3.6(米)．] 3．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为______________. x2＋y2－4x＝0　[设圆心为(a,0)(a>0)，则＝2，∴a＝2，故所求方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.] 4．(教材P95练习3改编)直线y＝x－1上的点到圆x2＋y2＋4x－2y＋4＝0的最近距离为________. 2－1　[圆心(－2,1)到直线y＝x－1的距离是d＝＝2. ∴直线上的点到圆的最近距离是2－1.] [对应学生用书P49] 探究一　直线与圆的方程的实际应用 已知台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，求B城市处于危险区内的时间． 解　如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．射线AC为∠xAy的平分线，则台风中心在射线AC上移动，点B到AC的距离为20千米． 则射线AC被以B为圆心，以30千米为半径的圆截得的弦长为2＝20(千米)． 所以B城市处于危险区内的时间为t＝＝1(小时)． [方法总结] 1．解决直线与圆的方程的实际应用题的步骤 2．建立适当的直角坐标系应遵循的三个原则 (1)若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴． (2)常选特殊点作为直角坐标系的原点． (3)尽量使已知点位于坐标轴上． [训练1]　有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？ 解　以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图所示，设A(－5,0)，则B(5,0)． 在坐标平面内任取一点P(x，y)，设从A运货到P地的运费为2a元/km.则从B运货到P地运费为a元/km. 若P地居民选择在A地购买此商品， 则2a<a， 整理得2＋y2<2 即点P在圆C：2＋y2＝2的内部． 也就是说，圆C内的居民应在A地购物． 同理可推得圆C外的居民应在B地购物． 圆C上的居民可随意选择A、B两地之一购物． 探究二　与圆有关的最值问题 [知能解读]　求解与圆有关的最值问题的方法 (1)借助几何性质求与圆有关的最值问题，根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解． ①形如μ＝形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题或转化为线性规划问题； ②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题或转化为线性规划问题； ③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题． (2)建立函数关系式求最值 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值． 已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求： (1)的最大值和最小值； (2)y－x的最大值和最小值； (3)x2＋y2的最大值和最小值． [分析]　本题可将和y－x转化成与直线斜率、截距有关的问题，x2＋y2可看成是点(x，y)与点(0,0)距离的平方，然后结合图形求解． 解　(1)如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)