2.4.1　圆的标准方程（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第一册(人教A版 )

2.4　圆的方程 2.4.1　圆的标准方程 课程内容标准 学科素养凝练 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．会判断点与圆的位置关系. 通过圆的标准方程的学习，发展数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. [对应学生用书P42] 一、圆的定义与标准方程 1．圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}． 2．圆的标准方程： (1)圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2. 二、点与圆的位置关系 圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PA|. 位置关系 几何法 图示 代数法 点在 圆外 d＞r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在 圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在 圆内 d＜r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　) (2)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2表示圆．(　　) (3)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，b)，半径为m.(　　) (4)圆心是原点的圆的方程是x2＋y2＝r2(r>0)．(　　) (5)以A(x1，y1)，B(x2，y2)为圆的直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2．(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是(　　) A．x2＋y2＝2　　　 B．x2＋y2＝4 C．(x－2)2＋(y－2)2＝8　　 D．x2＋y2＝ B　[以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.] 3．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是(　　) A．在圆上　　 B．在圆外 C．在圆内　　 D．以上都不对 B　[将点P的坐标代入圆的方程，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．] 4．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是________. (x－1)2＋(y－1)2＝4　[线段AB的中垂线方程为y＝x，则圆心坐标(x，y)应满足 ∴x＝y＝1，半径r＝ ＝2， ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.] [对应学生用书P43] 探究一　求圆的标准方程 求满足下列条件的圆的标准方程． (1)圆心为(3,4)且经过坐标原点； (2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上． 解　(1)∵圆心(3,4)，设半径为r，又圆过坐标原点， ∴r＝＝5， ∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25. (2)解法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 依题意得 即解得 ∴所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 解法二：直线AB的斜率k＝＝－， 可知AB垂直平分线m的斜率为2.A、B中点的横坐标和纵坐标分别为x＝＝1，y＝＝2. 因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0. 又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心为这两条直线的交点，联立方程组得设圆心为C，所以圆心坐标为C(2,4)． 又半径r＝|CA|＝，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10. 解法三：设圆心为C，∵圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)． 又∵|CA|＝|CB|. 故 ＝， 解得a＝2，∴圆心为(2,4)，半径r＝|CA|＝. 故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10. [方法总结]　确定圆的标准方程，从思路上可分为两种：几何法和待定系数法． (1)几何法：由圆的几何性质求出圆心坐标和半径长，然后代入标准方程即可． (2)待定系数法：设出圆的标准方程，通过三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．这种方法体现了方程的思想，是最常用的方法，一般步骤是： ①设—设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②列—由已知条件，建立关于a，b，r的方程组； ③解—解方程组，求出a，b，r； ④代—将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程． [训练1]　(1)圆心在x轴上，半径为2，且过点(1,2)的圆的方程为(　　) A．(x－1)2＋y2＝4 B．