10.1 复数及其几何意义-新教材高中数学必修第四册【新课程同步训练】练习手册（人教B版）

（人教 B 版）高 中 数 学 必 修 4 （ 2 ） ∵A= 仔 3 ， a=2 3 姨 ， △ABC 的面积为 5 3 姨 4 ， ∴ 1 2 bcsinA= 3 姨 4 bc= 5 3 姨 4 ， ∴bc=5 ， ∴ 由余弦定理可得， a 2 =b 2 +c 2 -2bccosA ， 即 12 =b 2 +c 2 -bc = （ b +c ） 2 -3bc = （ b +c ） 2 -15 ， 解 得 b +c = 3 3 姨 ， ∴△ABC 的周长为 a+b+c=2 3 姨 +3 3 姨 =5 3 姨 . 5. 解： （ 1 ） ∵ （ a+b+c ）（ sinB+sinC-sinA ） ＝bsinC ， ∴ 根据正弦定理， 知（ a+b+c ）（ b+c-a ） ＝bc ， 即 b 2 +c 2 -a 2 ＝-bc. ∴ 由余弦定理， 得 cosA＝ b 2 +c 2 -a 2 2bc ＝- 1 2 . 又 A∈ （ 0 ， 仔 ）， 所以 A＝ 2 3 仔. （ 2 ） 根据 a＝ 3 姨 ， A＝ 2 3 仔 及正弦定理， 得 b sinB ＝ c sinC ＝ a sinA ＝ 3 姨 3 姨 2 ＝2 ， ∴b＝2sinB ， c＝2sinC ， ∴S＝ 1 2 bcsinA＝ 1 2 ×2sinB×2sinC× 3 姨 2 ＝ 3 姨 sinBsinC ， ∴S+ 3 姨 cosBcosC＝ 3 姨 sinBsinC+ 3 姨 cosBcosC ＝ 3 姨 cos （ B-C ） . 故当 B＝C＝ 仔 6 时， S+ 3 姨 cosBcosC 取得最大值 3 姨 . 6. 解 ： （ 1 ） 在 △OBC 中 ， BC＝4 （ 3 姨 -1 ） ， OB＝OC＝ 4 2 姨 ， 所以由余弦定理得 cos∠BOC＝ OB 2 +OC 2 -BC 2 2OB · OC ＝ 3 姨 2 ， 所以 ∠BOC＝ 仔 6 ， 于是B B C 的长为 仔 6 ×4 2 姨 ＝ 2 2 姨 仔 3 . （ 2 ） 设 ∠AOC＝θ ， θ∈ 0 ， 2仔 3 B 3 ， 则 ∠BOC＝ 2仔 3 -θ ， S 四 边 形 OACB ＝S △AOC +S △BOC ＝ 1 2 ×4 2 姨 ×4 2 姨 sinθ+ 1 2 ×4 2 姨 × 4 2 姨 sin 2仔 3 - B 3 θ ＝24sinθ+8 3 姨 cosθ＝16 3 姨 sin θ+ 仔 6 B 3 ， 由于 θ∈ 0 ， 2仔 3 B 3 ， 所以 θ+ 仔 6 ∈ 仔 6 ， 5仔 6 B 3 ， 当 θ＝ 仔 3 时， 四边形 OACB 的面积取得最大值 16 3 姨 . 7. 解 ： （ 1 ） 因 为 2R （ sin 2 B -sin 2 A ） ＝ （ b -c ） sinC ， 所 以 2RsinBsinB-2RsinAsinA＝ （ b-c ） sinC ， 所以 bsinB-asinA＝bsinC-csinC ， 即 b 2 -a 2 ＝bc-c 2 ， 即 b 2 +c 2 -a 2 ＝bc ， 所以 cosA＝ b 2 +c 2 -a 2 2bc ＝ 1 2 ， 因为 ０°<A<180° ， 所以 A＝60°. （ 2 ） 以 AB ， AC 为邻边作平行四边形 ABEC ， 在 △ABE 中， ∠ABE＝120° ， AE＝ 19 姨 ， 由余弦定理得 AE 2 ＝AB 2 +BE 2 -2AB · BEcos120° ， 即 19＝9+BE 2 -2×3×BE× - 1 2 B 3 ， 解得 BE＝2 （负值舍去）， 所以 AC＝2. 故 S △ABC ＝ 1 2 AB · ACsin∠BAC＝ 1 2 ×3×2× 3 姨 2 ＝ 3 3 姨 2 . 8. 解： （ 1 ） ∵sinA＝2sinC ， ∴a＝2c. 于是， cosC＝ a 2 +b 2 -c 2 2ab ＝ （ 2c ） 2 + 3 2 c 2 -c 2 2×2c× 3 2 c ＝ 7 8 . （ 2 ） 由 （ 1 ） 知 cosC＝ 7 8 ， ∴sinC＝ 15 姨 8 . ∵S △ABC ＝ 1 2 · 2c · 3 2 c · 15 姨 8 ＝ 3 15 姨 4 ， ∴c 2 ＝4 ， c＝2 ， 则 a＝4 ， b＝3. ∵BD 为 ∠ABC 的平分线， ∴ a c ＝ CD AD ＝2 ， ∴CD＝2AD. 又 CD+AD＝3 ， ∴CD＝2 ， AD＝1. 在 △BCD 中， 由余弦定理可得 BD 2 ＝4 2 +2 2 -2×4×2× 7 8 ＝6 ， ∴BD＝ 6 姨 . 第十章 复 数 10.1 复数及其几何意义 10.1.1 复数的概