6.2.4 向量的数量积-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）

6.2.4 向量的数量积 【学习目标】 素 养 目 标 学 科 素 养 1.理解平面向量数量积的含义并会计算。（重点） 2.理解a在b上的投影向量的概念。（重点） 3. 理解平面向量夹角、模的定义，并会求向量的夹角和模。（难点） 4.掌握平面向量数量积的性质及其运算律，并会应用。 1.数学运算; 2.数学抽象； 3.逻辑推理。 【自主学习】 一．两向量的夹角 1.定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角． 注意：①当θ＝0时，向量a与b ； ②当θ＝时，向量a与b ，记作a⊥b； ③当θ＝π时，向量a与b ． 注意：只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角，如图所示，∠BAC不是向量与的夹角．作＝，则∠BAD才是向量与的夹角． 二．向量的数量积 已知两个 向量a与b，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的 (或 )，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ(θ为a，b的夹角)． 规定：零向量与任一向量的数量积为 . 注意：(1)“·”是数量积的运算符号，既不能省略不写，也不能写成“×”； (2)数量积的结果为数量，不再是向量； (3)向量数量积的正负由两个向量的夹角θ决定：当θ是锐角时，数量积为正；当θ是钝角时，数量积为负；当θ是直角时，数量积等于零． 三．投影向量 若与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ e. 当θ＝0时，投影向量为 ；当θ＝时，投影向量为 ；当θ＝π时，投影向量为 . 四．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝ . (2)a⊥b⇔ ． (3)当a与b同向时，a·b＝ ；当a与b反向时，a·b＝ ．特别地，a·a＝ 或|a|＝. (4)|a·b|≤|a||b|. (5)cosθ＝，其中θ是非零向量a与b的夹角． 数量积的性质的应用: 性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题； 性质(3)表明：当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量长度的平方，因此可用于求向量的模； 性质(4)可以解决有关“向量