6.2.3 向量的数乘运算-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版2019必修第二册）

6.2.3 向量的数乘运算 【学习目标】 素 养 目 标 学 科 素 养 1. 理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律。（重点） 2. 掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线。（重点） 1.数学抽象; 2.直观想象； 3.逻辑推理。 【自主学习】 一．向量的数乘运算 1．向量的数乘运算的概念 一般地，规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝ ． (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ； 当λ＝0时，λa＝ ． 注意：λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义． 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么： (1)λ(μa)＝ ． (2)(λ＋μ)a＝ ． (3)λ(a＋b)＝ ． 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ． 二．共线向量定理 1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使 ． 注意：(1)定理中，向量a为非零向量 (2)要证明向量a，b共线，只需证明存在实数λ，使得b＝λa即可． (3)由定理知，若向量＝λ，则，共线．又，有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法． 2.三点共线的性质定理 若平面内三点A，B，C共线，O为不同于A，B，C的任意一点，设＝λ＋μ，则存在实数λ，μ使得λ＋μ＝1. 【小试牛刀】 思维辨析(对的打“√”，错的打“×”) (1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　) (2) 若ma＝mb，则a＝b.(　　) (3) (m－n)a＝ma－na.(　　) (4)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.(　 　) (5)若向量，共线，则A，B，C，D四点共线．(　 　) 【经典例题】 题型一 向量的的线性运算 点拨：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向