2.1.1 合情推理（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 第二章　 推理与证明 2. 1　 合情推理与演绎推理 2. 1. 1　 合情推理 新知导学 　 　 1. 部分对象　 全部对象　 个别事实　 一般结论　 部分　 整 体　 个别　 一般 2. 归纳推理 3. 某些类似特征　 某些已知特征　 这些特征　 特殊到特殊 4. 已有的事实　 观察、分析、比较、联想　 归纳　 类比　 猜想 5. 整体　 抽象　 一般　 一般结论　 两类不同　 相同或相似 　 特殊　 特殊 预习自测 1. B　 推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断 的思维过程,上述过程是推理,由性质类比可知是类比推理. 2. A　 根据题意,归纳推理,就是由部分到整体的推理. 故①对 ②错; 类比推理是由特殊到特殊的推理. 故④对③错, 则正确的是①④,故选 A. 3. C　 由题意可知,当 n≥2 时,第 n 个式子左边是 1 + 1 22 + 1 32 + … + 1 n2 ,右边为2n -1 n ,故选 C. 4. B　 设组成第(n)个图案的点的个数为 an,由题意可得 a1 = 1, a2 = 3,a3 = 7,a4 = 13,a5 = 21, 故 a2 - a1 = 2,a3 - a2 = 4,a4 - a3 = 6,a5 - a4 = 8,…, 由此可推得当 n≥2 时,an - an - 1 = 2(n - 1), 以上(n - 1)个式子相加可得: (a2 - a1 ) + (a3 - a2 ) + (a4 - a3 ) + … + (an - an - 1 ) = 2 + 4 + 6 + … + 2(n - 1), 化简可得 an - a1 = (n - 1)(2 + 2n - 2) 2 = n(n - 1), 即 an = n(n - 1) + 1. 故 a50 = 50 × 49 + 1 = 2 451, 即第(50)个图案由 2 451 个点组成. 故选 B. 5. 首先分析题目的条件,并对 n = 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10 的结 果进行归纳推测,发现它们之间的共同性质,猜想出一个明确 的一般性命题. f(1) = 12 + 1 + 41 = 43,f(2) = 22 + 2 + 41 = 47, f(3) = 32 + 3 + 41 = 53,f(4) = 42 + 4 + 41 = 61, f(5) = 52 + 5 + 41 = 71,f(6) = 62 + 6 + 41 = 83, f(7) = 72 + 7 + 41 = 97,f(8) = 82 + 8 + 41 = 113, f(9) = 92 + 9 + 41 = 131,f(10) = 102 + 10 + 41 = 151. 由此猜 想,n 为任意正整数时,f(n) = n2 + n + 41 都是质数. 当 n = 40 时,f(40) = 402 + 40 + 41 = 41 × 41,所以 f(40) 为合 数,因此猜想的结论不正确. 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:猜想:sin2 α + cos2 (α + 30°) + sinαcos(α + 30°) = 3 4 . 证明:sin2 α + cos2 (α + 30°) + sinαcos(α + 30°) =1 - cos2α 2 +1 + cos(2α +60°) 2 + sin(2α +30°) - sin30° 2 = 1 + cos(2α + 60°) - cos2α 2 + 1 2 sin(2α + 30°) - 1 4 = 3 4 - 1 2 sin(30° + 2α) + 1 2 sin(2α + 30°) = 3 4 . 所以 sin2 α + cos2 (α + 30°) + sinαcos(α + 30°) = 3 4 成立. 　 　 跟踪练习 1:第 1 个不等式为 1 2 ×1≥1 × 1 2 ,即 1 1 +1 ×1≥1 × 1 2 × 1 ; 第 2 个不等式为 1 3 × 1 + 13( )≥ 1 2 × 12 + 1 4( ), 即 1 2 + 1 × 1 + 12 × 2 - 1( )≥ 1 2 × 12 × 1 + 1 2 × 2( ); 第3 个不等式为 1 4 × 1 + 13 + 1 5( )≥ 1 3 × 12 + 1 4 + 1 6( ), 即 1 3 + 1 × 1 + 12 × 2 - 1 + 1 2 × 3 - 1( )≥ 1 3 × 12 × 1 + 1 2 × 2 + 1 2 × 3( ); … 猜测第 n 个不等式为 1 n + 1 1 + 1 3 + 1 5 + … + 1 2n - 1( )≥ 1 n 1 2 + 1 4 + 1 6