2.2.2 反证法（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-2）

数学 (选修 1 - 2·人教 A 版） = (a n - bn)(an - 1 - bn - 1 ) (ab) n . ①当 a > 0,b > 0,a + b > 0 时,(an - bn ) (an - 1 - bn - 1 ) ≥0, (ab) n > 0, ∴ (a n - bn)(an - 1 - bn - 1 ) (ab) n ≥0,∴ b n - 1 an + a n - 1 bn ≥ 1 a + 1 b . ②当 a、b 有一个为负值时,不妨设 a > 0,b < 0,且 a + b > 0, ∴ a > | b | . ∴ (ab) n > 0,an > 0,bn > 0,an - 1 > 0,bn - 1 < 0, 故 an - bn > 0,an - 1 - bn - 1 > 0, ∴ (a n - bn)(an - 1 - bn - 1 ) (ab) n ≥0, ∴ b n - 1 an + a n - 1 bn ≥ 1 a + 1 b . ∴ 由①②知结论成立. 　 　 典例试做 4:要证 1 a + b + 1 b + c = 3 a + b + c , 即证 a + b + c a + b + a + b + c b + c = 3, 化简得 c a + b + a b + c = 1, 即只需证明 c(b + c) + a(a + b) = (a + b)(b + c), 只需证明 c2 + a2 = b2 + ac. 因为三个内角 A,B,C 构成等差数列,所以 2B = A + C, 又因为 A + B + C = 180°,所以 3B = 180°,即 B = 60°, 由余弦定理可得 cos60° = a 2 + c2 - b2 2ac , 所以 c2 + a2 - b2 = ac, 即 c2 + a2 = b2 + ac 成立, 因此原等式成立. 课堂达标·固基础 1. B　 直接证明中两种最基本的方法是综合法和分析法. 2. C　 取 a = 1 得 P = 1 + 8 < 4,Q = 2 + 5 > 4, ∴ P < Q,故选 C. 证明如下:要证 P < Q,只要证 P2 < Q2 , 只要证 2a +7 +2 a(a +7) <2a +7 +2 (a +3)(a +4), 只要证 a2 + 7a < a2 + 7a + 12, 只要证 0 < 12, ∵ 0 < 12 成立,∴ P < Q 成立. 3. a > c > b　 ∵ b = 4 7 + 3 ,c = 4 6 + 2 ,显然 b < c,而 a2 =2, c2 = ( 6 - 2)2 = 8 - 2 12 = 8 - 48 < 8 - 36 = 2 = a2 , ∴ a > c,∴ a > c > b. 4. 要证 a3 + b3 > a2 b + ab2 成立, 只需证(a + b)(a2 - ab + b2 ) > ab(a + b)成立. 因为 a > 0,b > 0,a + b > 0. 所以只需证 a2 - ab + b2 > ab, 只需证 a2 - 2ab + b2 > 0, 即(a - b)2 > 0, 依题意 a≠b,则(a - b)2 > 0 显然成立. 那么 a3 + b3 > a2 b + ab2 成立. 2. 2. 2　 反证法 新知导学 　 　 1. 矛盾　 错误　 成立 3. 已知条件　 假设　 定义、公理、定理 4. (4)结论　 (5)结论 预习自测 1. C　 用反证法证明“如果 a3 > b3 ,则 a > b” 时,提出的假设为 a≤b. 2. C　 假设都小于 2,则(a + 1 b ) + (b + 1 c ) + (c + 1 a ) < 6,而 a + 1 b + b + 1 c + c + 1 a = a + 1 a + b + 1 b + c + 1 c ≥2 + 2 + 2 = 6. 矛盾. 3. D　 “不全为 0”的含义是至少有一个不为 0,其否定应为“ 全 为 0”. 4. 假设 a≠1 或 b≠1　 结论“a = b = 1” 的含义是 a = 1 且 b = 1, 故其否定应为“a≠1 或 b≠1”. 5. 假设 △ABC 的三个内角 A、B、C 都小于 60°, 即 ∠A < 60°, ∠B < 60°,∠C < 60°. 相加得∠A + ∠B + ∠C < 180°. 这与三角形内角和定理矛盾. 所以假设不成立,故原命题正确. 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:假设{cn}是等比数列,则当 n≥2 时,(an + bn) 2 = (an - 1 + bn - 1 )·(an + 1 + bn + 1 ). 所以 a2n + 2anbn +