1.2.1 几个常用函数的导数（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修2-2）

现行旧教材·高中新课程学习指导 所以 k1 = 2x0 ,k2 = 3x 2 0 ,由 k1 k2 = - 1, 即 6x30 = - 1,解得 x0 = - 3 36 6 . 1. 2　 导数的计算 1. 2. 1　 几个常用函数的导数 新知导学 　 　 0　 1　 2x　 - x - 2 　 1 2 x - 1 2 　 αxα - 1 预习自测 1. D　 当 y = x 1 2 时,y′ = (x 1 2 )′ = ( x)′ = 1 2 x = 1 2 x - 1 2 . D 不正确. 故应选 D. 2. C　 常数函数的导数为 0. 3. B　 对于 A:例如:f(x) = x3 为奇函数,则f ′( x) = 3x2 ,为偶函数,故 A 错误, 对于 B:由导数的几何意义可知,若 f(x) 为周期函数,则f ′(x) 必为周 期函数,故 B 正确, 对于 C:例如:f(x) = x 不是周期函数,但f ′( x) = 1 为周期函数,故 C 错误, 对于 D:例如:f(x) = x2 为偶函数,则f ′(x) = 2x 为奇函数,故 D 错误, 故选 B. 4. 设切点坐标为(x0 ,y0 ), 因为 y′ = 1x( )′ = - 1 x2 ,所以切线斜率为 k = - 1 x20 . 所以切线方程为 y - 1 x0 = - 1 x20 (x - x0 ) 即 y = - 1 x20 x + 2 x0 . 又切线方程为 y = - x + b, ∴ - 1 x20 = - 1 2 x0 = b{ ,解得 x0 = 1 b = 2{ 或 x0 = - 1 b = - 2{ . 即当 b = 2 时,切点为(1,1); 当 b = - 2 时,切点为( - 1, - 1). 互动探究·攻重难 　 　 典例试做 1:①y′ = ( - 3)′ = 0; ②y′ = (cos π 10 )′ = 0; ③y′ = (x4 )′ = 4x3 ; ④y′ = ( 1 x4 )′ = (x - 4 )′ = - 4x - 5 = - 4 x5 ; ⑤y′ = [(x - 1)(x2 + x + 1) + 1]′ = (x3 - 1 + 1)′ = (x3 )′ = 3x2 . 　 　 跟踪练习 1:(1)因为 y = (1 - x)(1 + 1 x ) + x = 1 - x x + x = 1 x , 所以 y′ = - 1 2 x - 3 2 . (2)因为 y = (x 3 2 + 1)(x 3 2 - 1) + 1 = x3 - 1 + 1 = x3 　 　 所以 y′ = (x3 )′ = 3x2 . 　 　 典例试做 2:(1)∵ P(1,1)在曲线 y = 1 x 上,且 y′ = - 1 x2 , ∴ 在点 P(1,1)处的切线的斜率 k = y′ | x = 1 = - 1; ∴ 曲线在点 P(1,1)处的切线方程为 y - 1 = - (x - 1),即 x + y - 2 = 0. (2)设曲线 y = 1 x 过点 Q(1,0)的切线与曲线相切于点 A(x0 , 1 x0 ), 则切线的斜率 k = - 1 x20 , ∴ 切线方程为 y - 1 x0 = - 1 x20 (x - x0 ), ∵ 点 Q(1,0)在切线上, ∴ - 1 x0 = - 1 x20 (1 - x0 ), 解得 x0 = 1 2 . 故所求的切线方程为 4x + y - 4 = 0. 　 　 跟踪练习 2:4x - 4y - 1 = 0　 y′ = 2x,设切点为 M(x0 ,y0 ),则 y′ | x = x0 = 2x0 , ∵ PQ 的斜率 k = 4 - 1 2 + 1 = 1,又切线平行于 PQ, 所以 k = 2x0 = 1, 即 x0 = 1 2 ,切点为 M( 1 2 , 1 4 ),所以切线方程为 4x - 4y - 1 = 0. 　 　 典例试做 3:设 P(x0 ,y0 ),则 kl1 = y′ | x = x0 = 1 2 x0 . ∵ 直线 l1 与 l2 垂直,则 kl2 = - 2 x0 , ∴ 直线 l2 的方程为 y - y0 = - 2 x0 (x - x0 ). ∵ 点 P(x0 ,y0 )在曲线 y = x上,∴ y0 = x0 . 在直线 l2 的方程中令 y = 0,则 - x0 = - 2 x0 (x - x0 ). ∴ x = 1 2 + x0 ,即 xQ = 1 2 + x0 . 又 xK = x0 ,∴ | KQ | = xQ - xK = 1 2 + x0 - x0 = 1 2 . 　 　 跟踪练习 3:设切点 P(x0 ,y0 ),由直线 l 与曲线 y = f(