1.3.3 非（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

数学 (选修 1 - 1·人教 A 版） (2)这个命题是“p∨q” 的形式. 其中 p:相似三角形的周长 相等,是假命题;q:相似三角形的对应角相等,是真命题,所以 “相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题. (3)是“p∧q” 形式的命题,其中 p:有两个内角是 45°的三 角形是等腰三角形,是真命题;q:有两个内角是 45°的三角形是 直角三角形,是真命题. “p∧q”是真命题. 　 　 跟踪练习 3:(1)这一命题是“p 且 q”的形式. 其中 p:等腰三角形的顶角平分线垂直于底边, q:等腰三角形的顶角平分线平分底边. 因为 p、q 都是真命题,所以这一复合命题是一个真命题. (2)是“p 或 q”形式的命题,其中 p:4 是 15 的约数; q:3 是 15 的约数. “p 或 q”为真命题. (3)是“p 或 q”形式的命题,其中 p:10 = 10;q:10 < 10. “p 或 q”为真命题. 　 　 典例试做 4:不等式 | x - 1 | > m - 1 的解集为 R,须 m - 1 < 0,即 p 是真命题时,m < 1; 函数 f(x) = (5 - 2m) x 是 R 上的增函数,须 5 - 2m > 1,即 q 是真命题时,m < 2. ∵ p 或 q 为真命题,p 且 q 为假命题, ∴ p、q 中一个为真命题,另一个为假命题. (1)当 p 真,q 假时,m < 1 且 m≥2,此时无解; (2)当 p 假,q 真时,m≥1 且 m < 2,此时 1≤m < 2, 因此 1≤m < 2. 　 　 跟踪练习 4:(1)由题意,得 Δ = m2 - 4 > 0 - m < 0{ , 解得 m > 2. ∴ 实数 m 的取值范围为(2, + ∞ ). (2)若 q 为真,Δ = (4m - 2)2 - 16 < 0, 解得 - 1 2 < m < 3 2 . 当 p 为假,q 为真时,有 m≤2 - 1 2 < m < 3 2 { ,∴ - 12 < m < 32 . 综上可知实数 m 的取值范围为( - 1 2 , 3 2 ). 　 　 典例试做 5:p:方程 x2 + 2ax + 1 = 0 有两个大于 - 1 的实 数根 ⇔ Δ = 4a2 - 4≥0, x1 + x2 > - 2, (x1 + 1)(x2 + 1) > 0 { ⇔ a2 - 1≥0, - 2a > - 2, 2 - 2a > 0, { 解得 a≤ - 1. q:关于 x 的不等式 ax2 - ax + 1 > 0 的解集为 R⇔a = 0 或 a > 0, Δ < 0.{ 由于 a > 0, Δ < 0{ ⇔ a > 0, a2 - 4a < 0,{ 解得 0 < a < 4,所以 0≤a < 4. 因为“p∨q”为真命题,q 为假命题, 即 p 真且 q 假, 所以 a≤ - 1, a < 0 或 a≥4,{ 解得 a≤ - 1. 故实数 a 的取值范围是( - ∞ , - 1]. 　 　 跟踪练习 5:若 f(x) = x x2 + m 的定义域为 R,必有 m > 0,故 当命题 p 为真时,m > 0. 若 g( x) = mx2 + 2x - 1 在 [ 1 2 , + ∞ ) 内 单 调 递 减, 必 有 m < 0, - 1 m ≤ 1 2 ,{ 解得 m≤ - 2,故当命题 q 为真时,m≤ - 2. 因为命题 p∧q 为假,p∨q 为真,所以 p 与 q 一真一假. 当 p 真 q 假时,有 m > 0, m > - 2,{ 解得 m > 0; 当 p 假 q 真时,有 m≤0, m≤ - 2,{ 解得 m≤ - 2. 综上可知,实数 m 的取值范围是( - ∞ , -2]∪(0, + ∞ ). 　 　 典例试做 6:∵ 函数 y = ax 在 R 上单调递增,∴ a > 1,∴ p:a > 1. ∵ 不等式 x2 - ax + 1 > 0 时 x∈R 恒成立,∴ Δ = a2 - 4 < 0, ∴ - 2 < a < 2. ∴ q:0 < a < 2. 又∵ p∨q 为真,p∧q 为假,∴ p、q 一真一假. 当 p 真 q 假时, a > 1 a≥2{ ,∴ a≥2. 当 p 假 q 真时, 0 < a≤1 0 < a < 2{ , ∴ 0 < a≤1, 综上可知,实数 a 的取值范围是(0,1]∪[2, + ∞ ). 课堂达标·固基础 1. B　 p 和 q 显然都是真命题. ∴ 􀱑 p,􀱑 q 都是假命题,p∨q,p∧ q 都是真命题. 2. B　 3. (1)或　 (2)且　 (3) 且　 (4) 或　 (1) 若 x∈A∪B,则 x∈A 或 x∈B. (2)若 x∈A∩B,则 x∈A