第二章章末整合提升（学案）-【成才之路】2020-2021学年高中新课程数学同步学习指导（人教A版选修1-1）

数学 (选修 1 - 1·人教 A 版） 是 | MF | ,当且仅当点 P 在线段 MF 上时,等号成立,而直线 MF 的 方程为 y = 4 3 x - 1 2( ),与 y 2 = 2x,联立求得 x = 2,y = 2 或 x = 1 8 ,y = - 1 2 (舍去),所以,P 点坐标为(2,2). (2)5 2 4 　 ( 1 2 ,1)　 解法一:设 P(x0 ,y0 ) 是 y 2 = 2x 上任一 点,则点 P 到直线 l 的距离 d = | x0 - y0 + 3 | 2 = | y20 2 - y0 + 3 | 2 = | (y0 - 1) 2 + 5 | 2 2 , 当 y0 = 1 时,dmin = 5 2 4 ,点 P 坐标为( 1 2 ,1). 解法二:设与抛物线相切且与直线 x - y + 3 = 0 平行的直线 方程为 x - y + m = 0, 由 x - y + m = 0, y2 = 2x,{ 得 y 2 - 2y + 2m = 0, ∵ Δ = ( - 2)2 - 4 × 2m = 0,∴ m = 1 2 . ∴ 平行直线的方程为 x - y + 1 2 = 0,此时点到直线的最短 距离转化为两平行线之间的距离,则 dmin = |3 - 1 2 | 2 = 5 2 4 ,点 P 坐标为( 1 2 ,1). 　 　 典例试做 4:设 kAB = k(k≠0), ∵ 直线 AB、AC 的倾斜角互补,∴ kAC = - k(k≠0), ∵ AB 的方程是 y = k(x - 4) + 2. 由方程组 y = k(x - 4) + 2 y2 = x{ ,消去 y 整理得, k2 x2 + ( - 8k2 + 4k - 1)x + 16k2 - 16k + 4 = 0. ∵ A(4,2)、B(xB,yB)是上述方程组的解, ∴ 4·xB = 16k2 - 16k + 4 k2 , 即 xB = 4k2 - 4k + 1 k2 , 以 - k 代替 xB 中的 k,得 xC = 4k2 + 4k + 1 k2 , ∴ kBC = yB - yC xB - xC = k(xB - 4) + 2 - [ - k(xC - 4) + 2] xB - xC = k(xB + xC - 8) xB - xC = k(8k 2 + 2 k2 - 8) - 8k k2 = - 1 4 . 所以直线 BC 的斜率为定值. 　 　 跟踪练习 4: 证法一: 依题意, 设 A (2pt21 ,2pt1 ),B (2pt 2 2 , 2pt2 ),且 t1 ≠0,t2 ≠0. ∵ OA⊥OB,∴ 2pt1 2pt21 · 2pt2 2pt22 = - 1, 即 t1 t2 = - 1,∴ t2 = - 1 t1 . ∴ 直线 AB 的斜率 k = 2pt2 - 2pt1 2pt22 - 2pt 2 1 = 1 t1 + t2 = t1 t21 - 1 . ∴ 直线 AB 的方程为 y - 2pt1 = t1 t21 - 1 (x - 2pt21 ), 可化为 t1 t21 - 1 (x - 2p) - y = 0. ∴ 直线 AB 过定点(2p,0). 证法二:设直线 OA 的方程为 y = kx(k≠0), 则由 OA⊥OB 得直线 OB 的方程为 y = - 1 k x. 由 y = kx, y2 = 2px,{ 得 A 2p k2 ,2p k( ). 由 y = - 1 k x, y2 = 2px, { 得 B(2pk2 , - 2pk). 设直线 AB 与抛物线对称轴(x 轴) 的交点为 M(m,0),则 A、M、B 三点共线, ∴ 2p k 2p k2 - m = - 2pk 2pk2 - m ,即(1 + k2 )·m = (1 + k2 )·2p, ∴ m = 2p,即直线 AB 交 x 轴于定点(2p,0). 　 　 典例试做 5:(1)若直线斜率不存在,则过点 P(0,1)的直线 方程为 x = 0,由 x = 0 y2 = 2x{ ,得 x = 0 y = 0{ . 即直线 x = 0 与抛物线只有 一个公共点. (2)若直线的斜率存在,设为 k,则过点 P(0,1)的直线方程 为 y = kx + 1,由方程组 y = kx + 1 y2 = 2x{ ,消去 y,得 k 2 x2 + 2(k - 1)x + 1 = 0. 当 k = 0 时,得 x = 1 2 y = 1 { . 即直线 y = 1 与抛物线只有一个公共点; 当 k≠0 时,直线与抛物线只有一个公共点,则 Δ = 4( k - 1)2 - 4k2 = 0,所以 k = 1 2 ,直线方程为 y = 1 2 x + 1. 综