6.4.3 正弦定理-2020-2021学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

第6章 平面向量及其应用 6.4.3 正弦定理 正弦定理 1 正弦定理的描述 【文字语言】在一个三角形中，各边的长度和它所对的角的正弦的比相等 适用范围：任意的三角形 结构特征：分式连等形式，各边与其对角的正弦严格对应，体现了数学的对称之美. 简单应用：实现三角形中边角关系的转化 【符号语言】如图，在ΔABC中， 正弦定理 1 正弦定理的应用 已知两角和任一边，求其他的边和角 ——考什么 已知两边和其中一边的对角，求其他边和角 ——怎么考 作为知识形态，放在选择题，填空题中考 大题考察正弦定理，常与三角函数，三角恒等变换结合，考察工具形态 边角互相转化 正弦定理 1 正弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【证法1】定义法(利用三角函数的定义) 教材中给出了当ΔABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明 如图，设∠ABC为钝角，过点C作AB的垂线与AB的延长线交于点D. 由三角函数的定义可知 即有，即同理可得 所以就有，同理也可以推出锐角三角形时亦成立 正弦定理 1 正弦定理的证明 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为 【证法2】向量法(利用向量的数量积定义) 教材中给出了当ΔABC为直角三角形时正弦定理的证明，现在我们给出当ΔABC为钝角三角形时的证明 从而，类似可推出当ΔABC为直角三角形时亦成立. 如图，当ΔABC为钝角三角形时，过点A作非零向量⊥AC.由向量的加法可得AB=AC+CB，则·AB= ·(AC+CB)，∴ ·AB= ·AC+ ·CB 即整理得 ，即同理可得 下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形 ②正弦定理不适用于直角三角形 ③在某一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是定值 ④在ΔABC中，若内角A，B，C所对的边分别为，则A：B：C= 其中哪些是正确的？ 【解】正弦定理适用于人以三角形，故①②不正确； 在ΔABC中，由正弦定理得.因为三角形确定，所以外接圆半径R为定值，③正确； ④不正确，如A=B=45°，C=90°，A：B：C≠ 正弦定理 1 三角形中的隐含条件 在ΔABC中，内角A，B，C所对的边分别为，外接圆半径为，则： ΔABC为锐角三角形,则 即在锐角三角形中，一个角的正弦值大于另一个角的余弦