2021届高考二轮复习：专题3碰撞—导数法在物理解题中的应用

专题3 碰撞问题—导数法在物理解题中的应用（解析版） 证明：在碰撞中，完全非弹性碰撞动能损失最大 大家知道，碰撞分弹性碰撞和非弹性碰撞两类。弹性碰撞，动能和动量都守恒，非弹性碰撞，动能不守恒了,但动量还是守恒的。在非弹性碰撞中，有一种叫完全非弹性碰撞，两个物体相碰后不分开，连在一起了，动能损失最大，动能不守恒,但动量还是都守恒的。为什么在完全非弹性碰撞中，动能损失最大呢？很多同学知其然不知其所以然，本文解决知其所以然的问题。 弹性形变是指撤去外力后能够恢复原状的形变，能够发生弹性形变的物体我们说它具有弹性。碰撞是在极短的时间内发生的，满足相互作用的内力大于大于外力的条件，因此不管系统是否受到外力，一般都满足动量守恒。因此弹性碰撞是同时满足动量守恒和动能守恒的碰撞。 一般意义上的碰撞，仅满足动量守恒，碰撞过程中物体往往会发生形变，还会发热、发声，系统有动能损失，由于一般只研究碰撞发生在同一水平直线上的情况，系统在碰撞前后的重力势能不变，因此动能损失也对应着机械能的损失，通常情况下是机械能转化为内能。非弹性碰撞即物体发生碰撞后不反弹，区别于大多数的弹性碰撞，碰撞过程中会有动能损失。 如图1所示，设质量为m1的小球，速度为v1，与质量为m2的小球，速度为v2，发生碰撞， 图5 碰撞 碰撞后两球的速度分别为v1’、v2’，取向右为矢量的正方向。 由系统的动量守恒定律得 m1v1+m2v2=m1v1’+m2v2’……① 则碰撞中动能损失为 ② 由①得 ③ ③代入②得，求对的导数，得 令0，解得，④ 即当时，有最大值。 将④代入③解得，即，两小球粘合在一起时，也就是完全非弹性碰撞情况下，动能损失最大。将④代入②解得动能损失最大为。 例题1.某同学利用如图6所示的装置研究碰撞问题。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，、两摆球均很小，质量相等皆为m。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动球使其摆线伸直并与竖直方向成450角，然后将其由静止释放。求A球上升最大高度的最大值和最小值各是多少？上摆的最大角度的最大值和最小各值各是多少？ 【解】 B球的初始高度为，碰撞前球的速度为.在不考虑摆线质量的情况下，根据题意及机械能守恒定律得：图 6 ① ② 弹性碰撞时，动量守恒有 ③ 动能守恒有 ④ 解得，， 根据，得，为A球上升的最高高度。 根据，得，为A球上摆的最大角度。 完全非弹性碰撞，即A、B两球粘合在一起时，动量守恒有，解得， 根据，得，为A球上升的最大高度的最小值。 根据，得，为A球上摆的最大角度的最小值。 例题2. 在同一竖直平面内，3个完全相同的小钢球（1号、2号、3号）悬挂于同一高度；静止时小球恰能接触且悬线平行，如图所示。在下列实验中，悬线始终保持绷紧状态，碰撞均为对心正碰。以下分析正确的是（　　） A. 将1号移至高度释放，碰撞后，观察到2号静止、3号摆至高度。若2号换成质量不同的小钢球，重复上述实验，3号仍能摆至高度 B. 将1、2号一起移至高度释放，碰撞后，观察到1号静止，2、3号一起摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都守恒 C. 将右侧涂胶的1号移至高度释放，1、2号碰撞后粘在一起，根据机械能守恒，3号仍能摆至高度 D. 将1号和右侧涂胶的2号一起移至高度释放，碰撞后，2、3号粘在一起向右运动，未能摆至高度，释放后整个过程机械能和动量都不守恒 【答案】D 【解析】A．1号球与质量不同的2号球相碰撞后，1号球速度不为零，则2号球获得的动能小于1号球撞2号球前瞬间的动能，所以2号球与3号球相碰撞后，3号球获得的动能也小于1号球撞2号球前瞬间的动能，则3号不可能摆至高度，故A错误； B．1、2号球释放后，三小球之间的碰撞为弹性碰撞，且三小球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，但整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统动量不守恒，故B错误； C．1、2号碰撞后粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，所以1、2号球再与3号球相碰后，3号球获得的动能不足以使其摆至高度，故C错误； D．碰撞后，2、3号粘在一起，为完全非弹性碰撞，碰撞过程有机械能损失，且整个过程中，系统所受合外力不为零，所以系统的机械能和动量都不守恒，故D正确。 故选D。 例题3. 长为l的轻绳上端固定，下端系着质量为的小球A，处于静止状态。A受到一个水平瞬时冲量后在竖直平面内做圆周运动，恰好能通过圆周轨迹的最高点。当A回到最低点时，质量为的小球B与之迎面正碰，碰后A、B粘在一起，仍做圆周运动，并能通过圆周轨迹的最高点。不计空气阻力，重力加速度为g，求 （1）A受到的水平瞬时冲量I的大小； （2）碰撞前瞬间B的动能至少多大？ 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）A恰好能通过圆周轨迹