6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例（练习）-2020-2021学年高一数学精品备课资源（新人教A版必修第二册）

6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 一、单项选择题 1．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形，是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于的小路，已知某人从沿走到用了2分钟，从沿着走到用了3分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【解析】解：设该扇形的半径为，连接，如图所示： 由题意得，， ，，， 在中，由余弦定理得： ， 即， 解得：，所以该扇形的半径为米. 故选：D. 2．如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（　　） A．m B．m C．m D．m 【答案】A 【解析】∵中，，， ∴. 又∵中，m， ∴由正弦定理可得：，则m. 故选：A. 3．某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（　　） A．akm B． C． D．2akm 【答案】C 【解析】由题意知AC＝BC＝akm，∠ACB＝50°+70°＝120°， 由余弦定理得， ， 所以， 即门店A，B间的距离为. 故选：C. 4．的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（ ） A．没有满足要求的三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】D 【解析】解析：因为，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形. 故选：D． 5．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图所示： 设A处到山顶处下方的地面C距离为，则山高， 在中，，，， 由正弦定理，得， ， 所以，. 故选：C 6．如图，一艘船上午在处测得灯塔在它的北偏东处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午到达处，此时又测得灯塔在它的北偏东处，且与它相距.此船的航速是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设航速为 在中，，，， 由正弦定理得：，∴. 故选：C. 7．在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由和余弦定理得，又，∴． 因为三角形为锐角三角形，则，即，解得． ， ∵，即，所以， 则，因此，的取值范围是． 故选：A 二、多项选择题 8．在中，内角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则下列说法正确的是（ ） A．的最小值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】AD 【解析】由题意知， 由角平分线的性质以及面积公式可得， 化简得， ，当且仅当时成立，解得，故A正确，B错误； ，， ， 当且仅当，即时等号成立，故C错误，D正确. 故选：AD. 9．如图，△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，∠ABC为钝角，BD⊥AB，，c=2，则下列结论正确的有（ ） A． B．BD=2 C． D．△CBD的面积为 【答案】AC 【解析】解：由，得：， 又角为钝角， 解得：， 由余弦定理，得：， 解得，可知为等腰三角形，即， 所以， 解得，故正确， 可得， 在中，，得，可得，故错误， ，可得，可得，故正确， 所以的面积为，故错误． 故选：AC． 10．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为，由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，所以. 由正弦定理得，，所以 故选：ABD 三、填空题 11．已知锐角中，，，则的范围为___________. 【答案】 【解析】因为锐角中，，， 所以，由正弦定理可得：， 则， 又为锐角三角形，所以，即，所以， 因此，所以. 故答案为：. 12．如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救.在处南偏西30°且相距20海里的处有一救援船，其速度为海里小时，则该船到求助处的时间为______分钟. 【答案】 【解析】解：由题意知：，，， 则在中， 利用余弦定理知：， 代入数据，得， 解得：， 则从到所用时间为，则， 即. 故答案为：. 13．已知圆内接四边形的边长分别为，则四边形的面积是______________. 【答案】 【解析】由题可得，则， 在中，由余弦定理得， 在中，， ，解得， ， 则四边形的面积. 故答案为：. 14．如图，某城市有一条公路