6.3二项式定理-【新教材】人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册同步讲义（机构专用）

6.3 二项式定理 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、二项式定理： 其中各项的系数 叫做二项式系数，式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示，即通项为展开式的第 项： 2、二项式定理的性质 （1）对称性 （2）增减性与最大值：当n为偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值 （3）各二项式系数的和等于 题型一 二项式定理展开式 例1　求的展开式. 【答案】 【分析】 直接利用二项式定理求解即可. 【详解】 求 的展开式： 【分析】 直接利用二项式定理求解即可. 【详解】 题型二 特殊项 例 2　在的二项展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 【答案】-160 【分析】 的展开式的通项为 ，取 计算得到答案. 【详解】 的展开式的通项为： ，取 得到常数项 . 故答案为：-160 展开式的二项式系数之和为32，则展开式中 的系数是________.（用数字填写答案） 【答案】80 【分析】 先根据展开式的二项式系数之和为32求出 的值，再利用二项式展开式的通项求解. 【详解】 因为 展开式的二项式系数之和为32， 所以 . 展开式的通项为 ， 令 . 所以展开式中 的系数是 . 故答案为：80 题型三　参数问题 例 3　的展开式中， 项的系数为 ，则实数 ___________. 【答案】 【分析】 由 ，分别写出 和 的展开式通项，分别令 的指数为 ，求出对应的参数值，代入通项可得出关于 的等式，进而可求得实数 的值. 【详解】 ， 的展开式通项为 ，所以， 的展开式通项为 ， 令 ，可得 ， 由题意可得 ，解得 . 故答案为： . 展开式中的常数项为180，则 _________________. 【答案】2或 【分析】 先求出二项式展开式的通项公式，再令 的幂指数等于0，求得 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得 的值． 【详解】 解： 展开式中的通项公式为 ， 令 ，求得 ，可得它的常数项为 ，故 ， 故答案为： ． 题型四　系数之和问题 例 4 (1－x)6展开式中，x的奇次项系数和为（ ） A．32 B．－32 C．0 D．－64 【答案】B 【分析】 首先求二项展开式，再求奇次项系数的和. 【详解】 ， 所以x的奇次项系数和为 ， 故选：B.