2.7.1点到直线的距离公式 线上课程课件-北师大版高中数学必修4

北师大版高中数学必修4 §7.1点到直线的距离公式 第二章 平面向量 * 引入新知 在必修2中，我们学习了点到直线的距离公式 用向量方法给出一个比较简单的证明 若 是平面上一定点,它到直线 的距离d为： O 一般地，称与直线方向向量垂直的向量 为该直线的法向量. 讲授新知 证明 如图 是直线外一定点, 是直线 上任意一点,由直线 ,可以取它的方向 向量v 设n 为直线l的法向量，则 O n·v 与向量n同向的单位向量n0， 不妨取 则得到直线l的一个法向量n 所以,点 到直线 的距离等于向量 在n0方向上射影的长度. O 所以, 向量 在n0方向上射影的长度为： 得 又因为 为l上任意一点,所以 代入 例1 求点p(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离. 巩固新知 例1 求点p(1,2)到直线l:2x+y+1=0的距离. 巩固新知 方法总结 直接代入公式 计算结果 所以点p(1,2)到直线l的距离为 . 解 由点到直线的距离公式，得 已知直线l经过点A(1,-2)，且直线l的一个法向量n=(2,3),求点B(2,3)到直线l的距离. 变式题一 O 已知直线l经过点A(1,-2)，且直线l的一个法向量n=(2,3),求点B(2,3)到直线l的距离. 变式题一 所以点B(2,3)到直线l的距离为 解 依题意得 由距离的向量式 例2 求证：过点 并且垂直于向量 的直线方程是 . O 方法总结 利用直线的法向量, 两向量垂直可求直线方程. 例2 求证：过点 并且垂直于向量 的直线方程是 . 证明 设 为所求直线上的任意一点，则 即 O 求过点P(1,-1) ,且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程. 变式题二 解 设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 求过点P(1,-1