广东省东莞市第五高级中学2020-2021学年第一学期高一数学期末复习之一元二次函数、方程和不等式(学生版+教师版）

东莞五中2020-2021学年第一学期高一数学期末复习资料 必修第一册.第二章.一元二次函数、方程和不等式 【重要知识点与题型快速预览】 【知识点精解精析】 基础知识点一：不等式的性质 见课本P40-41 基础知识点二：一元二次不等式的解集 二次函数 的图象 一元二次方程的根 有两不同实根 有两个相等的实根 无实根 一元二次不等式的解集 的解集 或 的解集 基础知识点三：基本不等式 （1）重要不等式 ，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立． 其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 【必知必会题型深度讲解】 必知必会题型一：一元二次不等式的解法 【典型例题1】解下列不等式： （1）2＋3x－2x2>0；（2）x(3－x)≤x(x＋2)－1；（3）x2－2x＋3>0. 【典型例题2】已知不等式的解集为． （1）解不等式；（2）b为何值时，的解集为R？ 必知必会题型二：含参数的一元二次不等式的解法 在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： （1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（），无根（）； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：． 【典型例题3】求关于x的不等式的解集，其中a是常数. 【备用巩固练习题】解下列含参数的不等式： （1）；（2）；（3）． 必知必会题型三：不等式中恒成立问题的解法 （1）含参数的不等式的恒成立问题 通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题．在的最大值与最小值存在的条件下，恒成立；恒成立． （2）一元二次不等式的恒成立问题 ①对任意实数均成立对任意实数均成立 ②若（或）在时恒成立，可利用单调性或分离参数法等求解． 【典型例题4】已知不等式在时恒成立，求实数a的取值范围. 【典型例题5】当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围. 必知必会题型四：利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件，一正、二正、三相等． 【典型例题6】已知都是正实数，求证：. 【典型例题7】（1）设，则函数的最小值为_________ （2）若正数x，y满足，则的最小值为____________ 必知必会题型七：基本不等式的实际应用 【典型例题8】为迎北京冬奥会，某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为，四周空白的宽度为，栏与栏之间的中缝空白的宽度为，怎样确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：），使整个矩形广告牌面积最小? 【典型例题9】某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地． （1）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围； （2）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少． 必修第一册.第二章.一元二次函数、方程和不等式参考答案 【典型例题1】【解析】（1）原不等式可化为2x2－3x－2<0，所以(2x＋1)(x－2)<0 故原不等式的解集是. （2）原不等式可化为2x2－x－1≥0，所以(2x＋1)(x－1)≥0 故原不等式的解集为或 （3）因为 故原不等式的解集是R. 【典型例题2】【解析】（1）由题意知且－3和1是方程的两根， ∴解得. ∴不等式，即为，解得或. ∴所求不等式的解集为或； （2），即为， 若此不等式的解集为，则，解得. 【典型例题3】【解析】依题意知方程的根为x1=，x2=a， 且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线. 当a<时，如图1，原不等式的解集为(a，). 当a=时，如图2，原不等式的解集为. 当a－1时，如图，原不等式的解集为(－1，a).图3 图2 图1 综上所述，当a<－1时，原不等式的解集为(a，－1)；当a=－1时，原不等式的解集为；当a－1时，原不等式的解集为(－1，a)． 【备用巩固练习题】 【解析】（1）原不等式等价于，对应方程两根为， 比较两根的大小情况，可得当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． （2）当时，不等式化为．解得． 当时，方程的两根为，． ①时，分情况讨论：时，；时，；时，． ②时，． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）． ①，即或时， 不等式的解集为； ②，即或时， 不等式的解集为； ③，即时，不等式的解集为. 【