山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期末数学试题

2020-2021学年度第一学期期末学业水平诊断 高二数学 一、单项选择题 1. 数列2，－4，6，－8，…的通项公式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 2. 若抛物线 过点 ，则该抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 3. 与双曲线 有公共焦点且离心率为 椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 4. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子研究数．他们根据沙粒和石子所排列的形状把数分成许多类，如：三角形数1，3，6，10，…；正方形数1，4，9，16，…；等等．如图所示为五边形数，将五边形数按从小到大的顺序排列成数列，则此数列的第7项为（ ） A. 35 B. 51 C. 70 D. 92 【答案】C 5. 设 ， 是椭圆 焦点，若椭圆 上存在一点 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 6. 己知数列 满足 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 7. 如图是一水平放置的青花瓷．它的外形为单叶双曲面，可看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，且其外形上下对称．花瓶的最小直径为 ，瓶口直径为 ，瓶高为 ，则该双曲线的虚轴长为（ ） A. B. C. D. 45 【答案】C 8. 已知数列 的通项公式为 ，将数列 中的整数从小到大排列得到新数列 ，则 的前100项和为（ ） A. 9900 B. 10200 C. 10000 D. 11000 【答案】B 二、多项选择题 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 双曲线 与直线 有且只有一个公共点 B. 平面内满足 的动点 的轨迹为双曲线 C. 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 D. 过给定圆上一定点 作圆的动弦 ，则弦 的中点 的轨迹为椭圆 【答案】AC 10. 若数列 满足 ， ， ，则称 为斐波那契数列．记数列 的前 项和为 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 11. 如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在 轴上， ， ， 为椭圆的顶点， 为右焦点，延长 与 交于点 ，若 为钝角，则该椭圆的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 12. 己知数列1， ，1， ， ，1， ， ， ，1，…，则（ ） A. 数列的第 项均为1 B. 是数列的第90项 C. 数列前50项和28 D. 数列前50项和为 【答案】ABD 三、填空题 13. 己知等差数列 的前 项和为 ， ， ，则 的最大值为______． 【答案】30 14. 己知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，过点 且斜率为 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 是线段 的中点，则椭圆 的方程为______． 【答案】 15. 己知 为等比数列 的前 项和， ， ，则 的值为______． 【答案】40 16. 汽车前照灯的反射镜为一个抛物面．它由抛物线沿它的对称轴旋转一周形成．通常前照灯主要是由灯泡、反射镜和透镜三部分组成，其中灯泡位于抛物面的焦点上．由灯泡发出的光经抛物面反射镜反射后形成平行光束，再经过进镜的折射等作用达到照亮路面的效果．如图，从灯泡发出的光线 经抛物线 反射后，沿 平行射出， 的角平分线 所在的直线方程为 ，则抛物线方程为______． 【答案】 四、解答题 17. 从条件① ，② ，③ 任选一个补充在下面问题中，并解答． 问题：己知数列 的各项均为正数， 为等比数列， ， ，______，求数列 的前 项和 ．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 18. 动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ． （1）求动点 的轨迹方程； （2）设 ，点 为 轨迹上一点，且 ，求 的面积． 【答案】（1） ；（2） . 19. 在购买住房、轿车等商品时，一次性付款可能会超出一些买主的支付能力，贷款消费不失为一种可行的选择，但是也要量入为出，理智消费．某家庭计划在2021年元旦从某银行贷款10万元购置一辆轿车，贷款时间为18个月．该银行现提供了两种可选择的还款方案：方案一是以月利率 的复利计息，每月底还款，每次还款金额相同；方案二是以季度利率 的复利计息，每季度末还款，每次还款金额相同．（注：复利是指把前一期的利息与本金之和作为本金，再计算下一期的利息．） （1）分别计算选择方案一、方案二时，该家庭每次还款金额为多少万元？（结果精确到小数点后三位，参考数据： ， ．） （2）从每季度还款金额较少的角度看，该家庭应选择哪种方案？说明理由． 【答案】（1） （万元）， （万元）；（2）该家庭应选择第