7.3.1 离散型随机变量的均值-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

7.3.1离散型随机变量的均值 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.理解离散型随机变量的均值的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值 2.掌握离散型随机变量的均值的性质 3.会利用离散型随机变量的均值反映离散型随机变量的取值水平，解决一些相关的实际问题. 【自主学习】 知识点 离散型随机变量的均值 (1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ 为随机变量X的均值或数学期望． (2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的 ． (3)性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量， 且E(Y)＝E(aX＋b)＝ . 证明如下： 如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量． 因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为： Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)·pi＋…＋(axn＋b)pn ＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn) ＝aE(X)＋b， 即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 【合作探究】 探究一 求离散型随机变量的均值 【例1】从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同．若取后不放回，设取完红球所需的次数为X，求X的分布列及均值． 归纳总结： 【练习1】袋中有4个红球，3个白球，从袋中随机取出4个球．设取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，试求得分X的均值． 探究二 离散型随机变量均值的性质 【例2】已知随机变量X的分布列如下： X －2 －1 0 1 2 P m (1)求m的值； (2)求E(X)； (3)若Y＝2X－3，求E(Y)． 归纳总结： 【练习2】已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P 由Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，求a的值． 探究三 离散型随机变量均值的应用 【例3】随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？ 归纳总结： 【练习3】某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家独立地对每位学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”和“不支持”的概率都是.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．令ξ表示该公司的资助总额． (1)写出ξ的分布列； (2)求E(ξ)． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b等于(　　) X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B．0.1 C．－0.2 D．－0.4 2．某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分．已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是(　　) A．0.2 B．0.8 C．1 D．0 3．袋中有10个大小相同的小球，其中记为0号的有4个，记为n号的有n个(n＝1,2,3)．现从袋中任取一球，X表示所取到球的标号，则E(X)等于(　　) A．2 B. C. D. 4．随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的期望为(　　) A．0.6　　　 B．1 C．3.5 D．2 5．若X是一个随机变量，则E(X－E(X))的值为(　　) A．无法求　 B．0 C．E(X)　　 D．2E(X) 6．某船队若出海后天气好，可获得5 000元；若出海后天气坏，将损失2 000元；若不出海也要损失1 000元．根据预测知天气好的概率为0.6，则出海的期望效益是(　　) A．2 000元　 B．2 200元 C．2 400元　 D．2 600元 二、填空题 7．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次