6.3.2 二项式系数的性质-2020-2021学年高二数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版2019选择性必修第三册）

6.3.2二项式系数的性质 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数 2.理解二项式系数的性质并灵活运用 【自主学习】 知识点一 杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数 . (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的 ， 即C＝ ＋ . 知识点二 二项式系数的性质 性质 内容 对称性 C＝C，即二项展开式中，与首末两端“ ” 的两个 相等. 增减性 与最大值 如果二项式的幂指数n是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大. 如果n为奇数，那么其展开式中间两项与的二项式系数相等且同时取得最大值. 二项式 系数的和 二项展开式中各二项式系数的和等于 ， 即C＋C＋C＋…＋C＝ . 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， 都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝ . 【合作探究】 探究一 与杨辉三角有关的问题 【例1】如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值. 归纳总结： 【练习1】(1)如图数表满足：①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n(n≥2)行的第2个数是________. 1 2　2 3　4　3 4　7　7　4 5　11　14　11　5 …　　…　　… (2)将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表.从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________. 探究二 求展开式的系数和 【例2】已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|. 归纳总结： 【练习2】在二项式(2x－3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和. (2)各项系数之和. (3)所有奇数项系数之和. 探究三 二项式系数性质的应用 【例3】已知f(x)＝展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项. 归纳总结： 【练习3】已知的展开式中，只有第6项的二项式系数最大． (1)求该展开式中所有有理项的个数； (2)求该展开式中系数最大的项． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．在(a＋b)n的二项展开式中，与第k项二项式系数相同的项是(　　) A．第n－k项　　　　　　 B．第n－k－1项 C．第n－k＋1项 D．第n－k＋2项 2．设二项式的展开式中第5项是常数项，那么这个展开式中系数最大的项是(　　) A．第9项 B．第8项 C．第9项和第10项 D．第8项和第9项 3．(x－y)7的展开式中，系数的绝对值最大的项是(　　) A．第4项 B．第4、5项 C．第5项 D．第3、4项 4.若(1＋)5＝a＋b(a，b为有理数)，则a＋b等于(　　) A.45 B.55 C.70 D.80 5．设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 6.在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是(　　) A.第6项 B.第5项 C.第5、6项 D.第6、7项 7.设的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为(　　) A.－150 B.150 C.300 D.－300 二、填空题 8．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________． 9．在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)6的展开式中，x2的系数为________． 10．设(3x－2)6＝a0＋a1(2x－1)＋a2(2x－1)2＋…＋a6(2x－1)6，则＝________. 11．若x4(x＋3)8＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a12(x＋2)12，则log2(a1＋a3＋…＋a11)的值为 ． 12.已知(x