4.4　数学归纳法（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

4.4*　数学归纳法 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解数学归纳法的原理． 2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题. 在学习数学归纳法的过程中达成数学抽象、逻辑推理的核心素养. 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　) (2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　) (3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√ 2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 C　[凸n边形边数最小时是三角形，故第一步检验n＝3.] 3．如果命题p(n)对所有正偶数n都成立，则用数学归纳法证明时须先证n＝________成立． 答案　2 4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推测，当n>2时，有________. 答案　f(2n)> 探究一　用数学归纳法证明等式 [知能解读]　数学归纳法证题的三个关键点 1．验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. 2．递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． 3．利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中n∈N*)． 证明　当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立． 假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2. 那么，当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2， 即当n＝k＋1时等式也成立． 综上所述，可知等式对任何n∈N*都成立． [方法总结]　用数学归纳法证明等式的方法 [训练1]　用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N*)． 证明　①当n＝1时，＝成立． ②假设当n＝k(n∈N*)时等式成立，即有＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝， 即当n＝k＋1时等式也成立． 由①②可得对于任意的n∈N*等式都成立． 探究二　归纳——猜想——证明 [知能解读]　“归纳—猜想—证明”的主要题型 (1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和． (2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在． (3)给出一些简单的命题(n＝1,2,3，…)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题． 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)． (1)计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 解题程序： 第一步：泛读题目明待求结论：猜想Sn表达式并用数学归纳法证明． 第二步：精读题目挖已知条件：(1)已知数列的递推公式及Sn与an的关系，an＝Sn－Sn－1. 第三步：建立联系寻解题思路：(1)根据递推关系求出前4项，猜想Sn的表达式；(2)按照数学归纳法的解题步骤证明结论． 第四步：书写过程养规范习惯． (1)解　S1＝a1＝－，S2＋＋2＝S2－S1⇒S2＝－，S3＋＋2＝S3－S2⇒S3＝－，S4＋＋2＝S4－S3⇒S4＝－. 由此猜想：Sn＝－(n∈N*)． (2)证明　①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝－，右边＝－＝－. ∵左边＝右边，∴原等式成立． ②当n＝k(k≥1，k∈N*)时，假设Sk＝－成立， 则当n＝k＋1时，Sk＋1＋＋2＝Sk＋1－Sk，得＝－Sk－2＝－2＝＝＝－， ∴Sk＋1＝－＝－， ∴当n＝k＋1时，原等式也成立． 综合①②得对一切n∈N*，S