4.3.2　第2课时　等比数列前n项和的实际应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第2课时　等比数列前n项和的实际应用 课程内容标准 学科素养凝练 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 在运用等比数列知识解决实际问题的过程中，达成数学抽象、数学建模、数学运算的核心素养. 探究一　几何图形中的问题 把一个边长为1的正方形等分成九个全等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图①)；再将剩余的每个正方形都分成九个全等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图②)；如此继续下去，则 (1)图③中共挖掉了________个正方形； (2)第n个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________. (1)73　(2)　1－n　[设第n个图形共挖掉an个正方形，则1，a2－a1＝8，a3－a2＝82，…，an－an－1＝8n－1，所以an＝1＋8＋82＋…＋8n－1＝.(1)故图③中共挖掉了＝73个正方形；(2)第n个图形共挖掉了个正方形．由于原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×2＋8×4＋82×6＋…＋8n－1×2n＝＝1－n.] [变式]　本例中若一直继续下去，则这些被挖掉的正方形面积之和趋近于多少？ 解　由本例解法，设被挖掉的正方形面积之和为Sn，则Sn＝1－n，由于一直继续下去，即n无限增大时，n无限趋近于0，此时被挖掉的正方形面积之和趋近于1. [方法总结]　解决此类问题的关键是准确将问题转化为等比数列模型，再利用等比数列的相关知识求解． [训练1]　如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　) A．　　 B．π C．2π　　 D．3π B　[根据条件，第一个内切圆的半径为×3＝，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为＝π.] 探究二　增长率问题 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2020年起，每年年初到银行新存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2030年年初将所有存款和利息全部取出，共取回多少元？ 解题程序： 第一步：泛读题目明待求结论：2030年年初将所有存款和利息全部取出． 第二步：精读题目挖已知条件：条件一：每年年初都存a元，年利率p保持不变；条件二：按复利计算． 第三步：建立联系寻解题思路：每年年初存入的a元的本利和组成等比数列，将问题变为求等比数列前n项和问题． 第四步：书写过程养规范习惯． 解　设从2020年年初到2030年年初每年存入a元的本利和组成数列{an}(1≤n≤10)． 则a1＝a(1＋p)10，a2＝a(1＋p)9，…，a10＝a(1＋p)，故数列{an}(1≤n≤10)是以a1＝a(1＋p)10为首项，q＝为公比的等比数列．所以2030年初这个家庭应取出的钱数为 S10＝＝[(1＋p)11－(1＋p)](元)． [变式1]　若将题中的复利改为单利，结果是多少？ 解　a1＝a(1＋10p)，a2＝a(1＋9p)，a3＝a(1＋8p)，…，a10＝a(1＋p) S10＝a(1＋10p)＋a(1＋9p)＋…＋a(1＋p)＝10a＋×ap＝10a＋55ap. [变式2]　若将复利改为单利并且按规定，存款利息要纳税20%，则结果为多少？ 解　要将复利改为单利由“迁移1”知结果为10a＋55ap. 由存款利息按20%纳税，则最后结果为10a＋55ap×(1－20%)＝10a＋44ap. [方法总结]　解决等比数列应用题的关键 (1)认真审题抓特点，仔细观察找规律． (2)等比数列的特点是增加或减少的百分数相同． (3)分析数列的规律，一般需先写出数列的一些项加以考查． [训练2]　某市共有1万辆燃油型公交车．有关部门计划于2020年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则 (1)该市在2026年应该投入电力型公交车多少辆？ (2)到哪一年年底，电力型公交车的数量开始超过公交车总量的？ 解　(1)每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}，其中a1＝128，q＝1.5. ∴2026年应投入的数量为a7＝a1q6＝128×6＝1 458(辆)． (2)设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝＝256×， 由Sn>(10 000＋Sn)×，即Sn>5 000，解得n>7. ∴该市在2026年应该投入1 458辆电力型公交车，到2027年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. $$