4.3.2　第1课时　等比数列的前n项和公式及应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

4.3.2　等比数列的前n项和公式 第1课时　等比数列的前n项和公式及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并掌握等比数列的前n项和公式． 2．理解等比通项公式与前n项和公式的关系. 1．在推导等比数列前n项和公式的过程中达成逻辑推理、数学抽象的核心素养． 2．在运用等比前n项和公式的过程中提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn＝来求．(　　) (2)首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn＝na.(　　) (3)若某数列的前n项和公式为Sn＝－aqn＋a(a≠0，q≠0且q≠1，n∈N*)，则此数列一定是等比数列．(　　) (4)若Sn为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，a2＝4，那么S10等于(　　) A．210＋2　　 B．29－2　　 C．210－2　　 D．211－2 D　[等比数列的公比q＝＝＝2，所以前10项和S10＝＝＝211－2.] 3．(教材练习改编)等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为(　　) A．4　　 B．－4　　 C．2　　 D．－2 A　[由S5＝＝44，得a1＝4.] 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若q＝2，S100＝36，则a1＋a3＋…＋a99＝________. 12　[设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，即a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.] 探究一　利用等比数列前n项和公式计算基本量 在等比数列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q. 解题程序： 第一步：泛读题目明待求结论：求a3和q. 第二步：精读题目挖已知条件：{an}为等比数列，且知道首项和前3项和． 第三步：建立联系寻解题思路：(1)讨论公比q是否为1，利用前n项和公式，求出公比，进而求出a3. 第四步：书写过程养规范习惯． 解　由题意，得若q＝1，则S3＝3a1＝6，符合题意．此时，q＝1，a3＝a1＝2. 若q≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S3＝＝＝6，解得q＝－2. 此时，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8. 综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8. [方法总结]　使用等比数列求和公式时注意事项 (1)一定不要忽略q＝1的情况； (2)知道首项a1、公比q和项数n，可以用Sn＝；知道首尾两项a1，an和q，可以用Sn＝； (3)在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个． [训练1]　(2019·全国卷Ⅰ)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a＝a6，则S5＝________. 　[由a＝a6得(a1q3)2＝a1q5， 整理得q＝＝3. ∴S5＝＝.] [训练2]　(2020·全国卷Ⅱ理T6)数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman.若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2　　 B．3　　 C．4　　 D．5 C　[因为a1＝2，am＋n＝aman，所以a1＋n＝a1an，所以＝2，所以an＝2n，所以ak＋1＝2k＋1，ak＋2＝2k＋2，…，ak＋10＝2k＋10，所以ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝＝2k＋11－2k＋1＝215－25，所以k＝4.] [训练3]　在等比数列{an}中，若Sn＝189，q＝2，an＝96，求a1和n. 解　方法一　∵an＝96，q＝2，∴a1·2n＝192.　① 又∵Sn＝＝189，即a1－a1·2n＝－189， ∴a1＝a12n－189＝192－189＝3，代入①式得n＝6. 方法二　由公式Sn＝及已知，得189＝，解得a1＝3. 又由an＝a1·qn－1，得96＝3·2n－1，解得n＝6. [训练4]　设等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn. 解　设{an}的公比为q，由题设得解得或 当a1＝3，q＝2时，an＝3×2n－1，Sn＝3×(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2×3n－1，Sn＝3n－1. 探究二　等比数列前n项和的性质 [知能解读]　等比数列前n项和的性质 (1)等比数列{an}中，若项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q. (2)若等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S