4.3.1　第2课时　等比数列的性质及应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第2课时　等比数列的性质及应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比的有关性质，并能解决一些简单问题. 1．在解决等比数列实际问题中达成数学建模和逻辑推理的核心素养． 2．在运用等比性质解题过程中提升数学运算的核心素养. 探究一　等比数列的应用问题 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解　(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，…，an， 由题意，得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9，所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元)． 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． [方法总结] 1．等比数列应用题的两种常见类型 (1)数学应用问题：解答数学应用题的核心是建立数学模型，如有关平均增长率、利率(复利)以及数值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型． (2)增长率问题：需要构建的是等比数列模型，利用等比数列的通项公式解决． 2．解决应用题的步骤是 →→→→→ [训练1]　某制糖厂2011年制糖5万吨，如果从2011年起，平均每年的产量比上一年增加20%，那么到哪一年，该糖厂的年制糖量开始超过30万吨？(保留到个位，lg 6≈0.778，lg 1.2≈0.079) 解　记该糖厂每年制糖产量依次为a1，a2，a3，…，an，….则依题意可得a1＝5，＝1.2(n≥2且n∈N*)， 从而an＝5×1.2n－1，这里an＝30，故1.2n－1＝6， 即n－1＝log1.26＝＝≈9.85.故n＝11. 即从2021年开始，该糖厂年制糖量开始超过30万吨． 探究二　等比数列性质及应用 [知能解读]　等比数列的性质 1．通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． 2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 3．两等比数列合成数列的性质 若数列{an}，{bn}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{can}，{a}，{an·bn}，也为等比数列． 4．等比、等差数列的两个性质： (1)已知b>0，且b≠1，如果数列{an}是等差数列，那么数列{ban}是等比数列； (2)如果数列{an}是各项均为正的等比数列，那么数列{logban}是等差数列． (1)在等比数列{an}中，an>0，若a3·a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝________. 128　[a3a5＝a＝4，又an>0，所以a4＝2，a1a2a3a4a5a6a7＝(a1·a7)·(a2·a6)·(a3·a5)·a4＝a·a·a·a4＝a＝27＝128.] (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________. －(－2)n－1　[在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1.] [变式1]　将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. 解　因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7， 当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7. 故a1＋a10＝－7. [变式2]　将本例(2)中题的条件不变，求log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|. 解　因为a4a7＝－512，所以a2a9＝a3a8＝－512， 故log4|a2|＋log4|a3|＋log4|a8|＋log4|a9|＝log4(|a2a9|·|a3a8|)＝log45122＝log229＝9. [方法总结]　等比数列的运算常用两条思路 (1