4.3.1　第1课时　等比数列的概念（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

4.3　等比数列 4.3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 课程内容标准 学科素养凝练 1．通过生活中的实例，理解等比数列的定义和通项公式的意义． 2．体会等比数列与指数函数的关系. 在学习等比数列的定义和通项公式的过程，提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 一、等比数列的概念 1．等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是G2＝ab. 二、等比数列的通项公式 以a1为首项，q为公比的等比数列{an}的通项公式an＝a1qn－1. 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．(　　) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．(　　) (3)常数列一定为等比数列．(　　) (4)任何两个数都有等比中项．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材练习改编)下列数列为等比数列的是(　　) A．2,22,3×22，…　　 B．，，，… C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…　　 D．0,0,0，… B　[A、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．] 3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(　　) A．4　　 B．8　　 C．16　　 D．32 C　[由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16.] 4.45和80的等比中项为________. －60或60　[设45和80的等比中项为G，则G2＝45×80，∴G＝±60.] 探究一　等比数列的概念 判断下列数列是否为等比数列． (1)1,3,32,33，…，3n－1，…； (2)－1,1,2,4,8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解　(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N*)，∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0,0,0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. [方法总结]　判定等比数列，要抓住3个要点 ①从第二项起．②要判定每一项，不能有例外．③每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0. [训练1]　(多选题)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2,4，－8　　 B．－，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4　　 D．a－1，a－2，a－3，a－4 ABD　[AB显然是等比数列；由于x可能为0，C不是等比数列；a不能为0，D符合等比数列定义，故D是等比数列．] [训练2]　在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列． 证明　方法一　定义法∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 方法二　等比中项法∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2. 即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． 探究二　等比数列的通项公式 [知能解读]　等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的孤立点． (1)在等比数列{an}中，a1＝，q＝，an＝，则项数n为(　　) A．3　　 B．4　　 C．5　　 D．6 C　[因为an＝a1qn－1，所以×n－1＝，即n＝5，解得n＝5.] (2)已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________. 2n　[由2(an＋an＋2)＝5an＋1⇒2q2－5q＋2＝0⇒q＝2或，由a＝a10＝a1q9>0⇒a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2. a＝a10⇒(a1q4)2＝a1q9⇒a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.] [方法总结]　等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a