4.2.2　第2课时　等差数列前n项和的应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值. 1．在利用等差数列前n项和公式解决实际问题的过程中，培养数学建模和数学运算的核心素养． 2．在求等差数列前n项和最值过程中达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 探究一　等差数列前n项和的应用问题 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？ 解　从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为a1，a2，…，a25. 由题意可知，此数列为等差数列，且a1＝24，公差d＝－. 25辆翻斗车完成的工作量为：a1＋a2＋…＋a25＝25×24＋25×12×＝500， 而需要完成的工作量为24×20＝480. ∵500>480，∴在24小时内能构筑成第二道防线． [方法总结]　与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. [训练]　植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米． 2 000　[假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁，此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，故所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000(米)．] 探究二　等差数列前n项和的最值问题 [知能解读] 1．等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn＝na1＋d＝dn2＋n，当d≠0，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． 2．等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解题程序： 第一步：泛读题目明待求结论：求数列通项公式及前n项和的最小值问题． 第二步：精读题目挖已知条件：{an}是等差数列，且已知第10项及前5项和． 第三步：建立联系寻解题思路：(1)利用通项公式及其前n项和公式建立方程组求解；(2)可先求出前n项和公式，再利用二次函数求最值的方法求解，也可以利用通项公式，根据等差数列的单调性求解． 第四步：书写过程养规范习惯． 解　(1)由题意得得a1＝－9，d＝3，∴an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝2－， ∴当n＝3或4时，前n项的和取得最小值S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则即解得3≤n≤4， 又n∈N*，当n＝3或4时，前n项和的最小值S3＝S4＝－18. [变式1]　将本例中的条件“S15＝－15”改为“S5＝125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值． 解　S5＝×5×(a1＋a5)＝×5×2a3＝5a3＝125，故a3＝25，a10－a3＝7d，即d＝－1<0，故Sn有最大值， an＝a3＋(n－3)d＝28－n. 设Sn最大，则解得27≤n≤28，即S27和S28最大，又a1＝27，故S27＝S28＝378. [变式2]　在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 解　方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7. 方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所