4.2.2　第1课时　等差数列的前n项和公式（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

4.2.2　等差数列的前n项和公式 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程内容标准 学科素养凝练 1．探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系. 1．经历等差数列前n项和公式的推导，提升数学抽象和逻辑推理的核心素养． 2．通过等差数列前n项和公式的运用，达成逻辑推理和数学运算的核心素养. 等差数列的前n项和 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”． (1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．(　　) (2)若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝Sn－Sn－1，n∈N*.(　　) (3)等差数列的前n项和，等于其首项、第n项的等差中项的n倍．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8等于(　　) A．72　　 B．54　　 C．36　　 D．18 A　[由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72.] 3．在一个等差数列中，已知a10＝10，则S19＝________. 190　[S19＝＝＝190.] 4．(教材练习改编)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________. 48　[设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.] 探究一　等差数列前n项和公式的基本运算 [知能解读]　a1，d，n，an，Sn知三求二 (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d. 两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项，公差，项数，末项和前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． (1)(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　) A．an＝2n－5　　　　　　 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n　　 D．Sn＝n2－2n A　[设首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得解得 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋×2＝n2－4n.] (2)(2018·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　) A．－12　　 B．－10　　 C．10　　 D．12 B　[设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.] [方法总结]　等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． (2)利用等差数列的性质解题． [训练1]　设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于(　　) A．13　　 B．35　　 C．49　　 D．63 D　[∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8，∴S9＝＝＝63.] [训练2]　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 解　由得解方程组得或 探究二　等差数列前n项有关的性质问题 [知能解读]　等差数列前n项和的有关性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. (2)若Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列，公差为m2d. (3)设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝. (4)若等差数列的项数为2n，则S2n＝n(an＋an＋1)，S偶－S奇＝nd，＝. (5)若等差数列的项数为2n＋1，则S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，S偶－S奇＝－an＋1，＝. (1)等差数列前n项的和为30，前2n项的和为100，则它的前3n项的和为(　　) A．130　　 B．170　　 C．210　　 D．260 C　[利用等差数列的性质：Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列．所以Sn＋(S3n－S2n)＝2(S2n－Sn)， 即30＋(S3n－100)＝2(100－30)，解得S3n＝210.] (2)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n等于________. 10　[因为等差数列共有2n＋1项，所以S奇－S偶＝an＋1＝，即1