4.2.1　第2课时　等差数列的性质及实际应用（配套Word教参）-【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第2册 (人教A版)

第2课时　等差数列的性质及实际应用 课程内容标准 学科素养凝练 1．了解等差数列的有关性质． 2．能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题. 1．通过对数列有关性质的学习，提升逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．通过等差数列解决实际问题，达成数学建模的核心素养. 探究一　等差数列的应用问题 某市出租车的计价标准为1.2 元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，那么需要支付多少车费？ 解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元． 所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n＝11， 此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元． [变式1]　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km，按1 km计费)，且一路畅通，等候时间为0，那么，需支付多少车费？ 解　由题意知，当出租车行至18.5 km处时，n＝16，此时需支付车费a16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)． [变式2]　在本例中，若某人乘坐该市的出租车去往n km(n∈N*)处的目的地，求其需支付的车费an. 解　当n∈{1,2,3}时，an＝10， 当n∈N*，且n≥4时，an＝11.2＋(n－4)×1.2＝1.2n＋6.4. 所以an＝ [方法总结] (1)解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． (2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． [训练1]　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解　设从第一年起，第n年的利润为an万元，则a1＝200，an＋1－an＝－20(n∈N*)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损． ∴由an＝220－20n<0，得n>11，即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． 探究二　等差数列性质及应用 [知能解读]　等差数列的性质 1．若{an}是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. (2)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 2．由等差数列衍生的新数列 若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此数列的通项公式． 解　方法一　因为a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以a4＝5. 又因为a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，所以(a4－2d)(a4＋2d)＝9，即(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2. 若d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3，n∈N*； 若d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n，n∈N*. 方法二　设等差数列的公差为d，则由a1＋a4＋a7＝15，得 a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5.① 由a2a4a6＝45，得(a1＋d)(a1＋3d)(a1＋5d)＝45， 将①代入上式，得(5－2d)×5×(5＋2d)＝45，即(5－2d)(5＋2d)＝9，② 联立①②解得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2， 即an＝－1＋2(n－1)＝2n－3，n∈N*或an＝11－2(n－1)＝13－2n，n∈N*. [变式]　在本例中，不难验证a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差数列{an}中，若m＋n＋p＝q＋r＋s，m，n，p，q，r，s∈N*，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as? 解　设公差为d，则am＝a1＋(m－1)d，